$\newcommand{\Prime}{\mathbb{P}}$조화급수(harmonic series) 의 합, 즉 자연수의 역수의 합이 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty \]
자연수의 역수의 합이 무한대임을 보이는 방법을 응용하면, 짝수의 역수의 합 또는 홀수의 역수의 합 또한 양의 무한대로 발산한다는 사실을 쉽게 보일 수 있다. 하지만 자연수의 제곱의 역수의 합은 수렴하며 그 값이 $\frac{\pi^2}{6}$라는 사실이 알려져 있다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \]
이번에는 소수의 역수의 합에 대하여 생각해 보자. 이 값은 수렴할까? 또는 발산하게 될까?
소수의 역수의 합과 소수의 무한성
정리 1. 소수의 역수의 합소수의 역수의 합은 양의 무한대로 발산한다.
증명. 먼저 모든 소수의 집합을 $\Prime$로 나타내기로 하자. 그러면 우리가 구하고자 하는 값은
\[ \sum_{p \in \Prime} \frac{1}{p} \]
와 같이 나타낼 수 있다. 이제 $p \geq 2$이므로, 기하급수(geometric series) 의 합 공식과 산술의 기본법칙(fundamental theorem of arithmetic) 에 의해
\[ \prod_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \left( 1 - \tfrac{1}{p} \right)^{-1} \;=\; \prod_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p^k} \;\geq\; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \;>\; \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \,dx \;=\; \ln(n) \tag*{$(\ast)$} \]
를 얻는다. 따라서 위 부등식 $(\ast)$의 양변에 역수를 취하고
\[ \frac{1}{\ln(n)} \;>\; \prod_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \left( 1 - \tfrac{1}{p} \right) \]
자연로그를 씌워주면
\[ - \ln(\ln(n)) \;>\; \ln \bigg( \prod_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \left( 1 - \tfrac{1}{p} \right) \bigg) = \sum_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \ln \left( 1 - \tfrac{1}{p} \right) \tag*{$(\ast\ast)$} \]
를 얻을 수 있다. 이제 함수 $f(x) = \ln(1-x) + 2x$의 그래프를 생각해 보자. 그러면 구간 $(0,\, \frac{1}{2}]$에서 $f(x) > 0$임을 쉽게 확인 할 수 있다. 그러므로 위 관찰과 부등식 $(\ast\ast)$에 의하여
\[ - \ln(\ln(n)) \;>\; \sum_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \ln \left( 1 - \tfrac{1}{p} \right) \;>\; - \sum_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \frac{2}{p} \]
를 얻는다. 이제 양변을 $-2$로 나누어 주고, $n \to \infty$의 극한을 취해주면
\[ \sum_{p \in \Prime} \frac{1}{p} \;=\; \lim_{n \to \infty} \sum_{\substack{p \leq n \\ p \in \Prime}} \frac{1}{p} \;\geq\; \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \ln(\ln(n)) \;=\; \infty \]
따라서 소수의 역수의 합은 발산한다..
소수의 역수의 합이 발산한다는 사실로부터 소수의 개수가 무한함을 간단히 보일 수 있다.
따름정리 2. 소수의 무한성소수는 개수는 무한하다.
증명. 소수의 역수의 합이 발산하므로 급수와 극한의 관계에 의해
\[ \lim_{\substack{p \leq n \\ n \to \infty}} \frac{1}{p} = 0 \]
이어야만 한다. 하지만 소수의 개수가 유한하다면 충분히 큰 양의 정수 $M$에 대하여 모든 $p \in \Prime$에 대하여 $p \leq M$이라고 할 수 있고 따라서 모든 $p \in \Prime$에 대하여 $\tfrac{1}{p} \geq \frac{1}{M}$을 얻는다. 하지만 이는 $\frac{1}{p}$의 극한이 $0$이라는 사실과 모순이므로 소수의 개수는 무한하다..