티투의 보조정리(Titu's lemma)는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 활용하여 여러 분수 형태의 합을 간결하게 비교할 수 있게 해 주는 유용한 부등식이다.
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증명. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)에 의하면, 임의의 실수 $x_i, y_i$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
\[ \big( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \big) \big( y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2 \big) \geq \big( x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots x_ny_n \big)^2. \]
위 부등식의 양변에 $x_i = \dfrac{a_i}{\sqrt{b_i}}$, $y_i = \sqrt{b_i}$를 대입하면
\[ \bigg( \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \bigg) \big( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \big) \geq \big( a_1 + a_2 + \cdots a_n \big)^2 \]
이므로 위 부등식을 정리하면 원하는 결과를 얻는다.$ $
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이제 티투의 보조정리를 이용한 몇 가지 예제를 알아보자.
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풀이. 티투의 보조정리에 의해
\[ \begin{align*}
\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} & = \frac{(\sqrt{2})^2}{a + b} + \frac{(\sqrt{2})^2}{b + c} + \frac{(\sqrt{2})^2}{c + a} \\[1ex]
& \geq \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2})^2}{(a + b) + (b + c) + (c + a)} \\[1ex]
& = \frac{(3\sqrt{2})^2}{2(a + b + c)} \\[1ex]
& = \frac{9}{a + b + c}
\end{align*} \]
가 성립한다. $ $
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풀이. 티투의 보조정리에 의해 \[ a^2 + b^2 = \frac{a^2}{1} + \frac{b^2}{1} \geq \frac{(a + b)^2}{2} \] 이므로 위 식을 정리하면 첫 번째 부등식을 얻는다. 마찬가지 방법으로
\[ a^4 + b^4 \geq \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} \geq \frac{(a^2 + b^2)^2}{2} \geq \frac{\bigg( \dfrac{(a + b)^2}{2} \bigg)^2}{2} = \frac{(a + b)^4}{8} \]
따라서 위 식을 정리하면 두 번째 부등식 또한 얻는다. $ $
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풀이. 티투의 보조정리에 의해
\[ \begin{align*}
\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} & = \frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} + \frac{c^2}{b + c} + \frac{c^2}{c + a} + \frac{a^2}{c + a} \\[1ex]
& \geq \frac{(2a + 2b + 2c))^2}{2(a + b) + 2(b + c) + 2(c + a)} \\[1ex]
& = \frac{4(a + b + c)^2}{4(a + b + c)} \\[1ex]
& = a + b + c
\end{align*} \]
가 성립한다.$ $
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풀이. 티투의 보조정리에 의해
\[ \begin{align*}
\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} & = \geq \frac{(\sqrt{2})^2}{a + b} + \frac{(\sqrt{2})^2}{b + c} + \frac{(\sqrt{2})^2}{c + a} \\[1ex]
& \geq \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2})^2}{(a + b) + (b + c) + (c + a)} \\[1ex]
& = \frac{(3\sqrt{2})^2}{2(a + b + c)} \\[1ex]
& = \frac{9}{a + b + c}
\end{align*} \]
가 성립한다. $ $