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풀이. 우선 간단한 계산을 통해서
\[ \begin{align*} a_1 &= 1089 = 33^2 \\[5px] a_2 &= 110889 = 333^2 \\[5px] a_3 &= 11108889 = 3333^2 \\[5px] a_4 &= 1111088889 = 33333^2 \end{align*} \]
임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 임의의 $n$에 대하여 $a_n$이 제곱수임을 증명해 보자. 수열 $(a_n)$의 일반항은
\[ a_n = \underbrace{111 \cdots 1}_{n} 0 \underbrace{888 \cdots 8}_{n} 9 \]
로 주어진다. 이를 급수 표현을 이용하여 다시 나타내면,
\[ \begin{align*} a_n &= 9 + 8 \sum_{k=1}^{n+1} 10^k + \sum_{k=n+2}^{2n+1} 10^k \\[5px] &= 9 + 80 \frac{10^n - 1}{10-1} + 10^{n+2} \frac{10^n - 1}{10-1} \\[5px] &= \frac{1}{9} \, \left[ 81 + 80 (10^n - 1) + 10^{n+2}(10^n - 1) \right] \\[5px] &= \frac{1}{9} \, \left[ 10^{2n+2} - 2 \cdot 10^{n+1} + 1 \right] \\[5px] &= \left( \frac{10^{n+1} - 1}{3} \right)^2. \end{align*} \]
따라서 수열 $(a_n)$의 모든 항은 제곱수임을 알 수 있다..