풀이. 임의의 자연수 순서쌍 $a = (a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_7)$와 $a$의 각 성분을 임의로 치환하여 얻은 새로운 자연수 순서쌍 $b = (b_1,\,b_2,\, \ldots,\, b_7)$을 생각하자. 또한 식 $(\ast)$의 결과가 홀수라 가정해 보자.

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두 자연수의 곱의 결과가 홀수인 경우는 홀수×홀수일 때 밖에 없으므로, 모든 $n=1,\,2,\, \ldots,\, 7$에 대하여 $(a_n-b_n)$이 홀수임을 알 수 있다. 이제 각각의 $n$에 대하여 $(a_n-b_n)$이 되기 위해서는 $a_n$과 $b_n$의 홀짝성(parity)이 달라야만 함을 알 수 있다. 즉, $a_n$이 짝수이면 $b_n$은 홀수이고, 반대로 $a_n$이 홀수이면 $b_n$은 짝수여야만 한다.

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이제 $a$의 성분 중 짝수인 성분의 개수를 $k$, 홀수인 성분의 개수를 $(7-k)$라 하자. (단, $k$는 $0 \leq k \leq 7$인 정수이다.) 그러면 $b$의 성분 중 짝수인 성분의 개수는 $(7-k)$, 홀수인 성분의 개수는 $k$가 되어야 한다. 하지만 $b$는 $a$의 성분을 치환하여 얻은 것이므로, $a$와 $b$의 각 성분 중 짝수인 성분의 개수와 홀수인 성분의 개수가 서로 같아야만 한다. 따라서 $7-k = k$이고 따라서 $k = 3.5$가 된다. 하지만 이는 $k$가 정수라는 사실에 모순이다.

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결과적으로 식 $(\ast)$의 결과는 짝수여야만 한다..