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풀이. 식을 간단히 하기 위하여, $f(n) := n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$로 정의하자. 또한
\begin{align*} a(n) &:= (2n^2 + n)^2 = 4n^2 + 4n^3 + n^2, \\[5px] b(n) &:= (2n^2 + n + 1)^2 = 4n^4 + 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1 \end{align*}
로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해
\[ 4f(n) - a(n) = 3n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + (n+2)^2 > 0 \]
를 얻는다. 또한 $-1 < n < 3$인 경우,
\[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = (n+1)(n-3) > 0 \]
이 성립함을 알 수 있다. 따라서 $-1 < n < 3$인 경우, $a(n) < 4f(n) < b(n)$, 즉,
\[ (2n^2 + n)^2 < 4(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1) < (2n^2 + n + 1)^2 \]
이 성립한다. 따라서 $n=-1,\,0,\,1,\,2,\,3$인 경우만 확인을 해보면 충분함을 알 수 있다. 실제로 계산을 해보면 $f(-1) = 1 = 1^2$, $f(0) = 1 = 1^2$, $f(1) = 5$, $f(2) = 31$, $f(3) = 121 = 11^2$이므로, 주어진 식이 완전제곱수가 되게 하는 정수는 $n=-1,\,0,\,3$이 전부이다..