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풀이. $A = [a_{ij}]$의 역행렬이 존재함을 보이기 위해서는 $\det(A) \neq 0$임을 보이면 충분하다. 이 때, $\det(A)$의 정확한 값을 구할 필요 없이, $\det(A)$가 $0$이 될 수 없음을 보이기만 하면 된다. 따라서 $\det(A)$가 홀수임을 증명하도록 하자. 즉, $\det(A) \equiv 1 \pmod{2}$임을 보일 것이다.
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이제 $4 \times 4$ 행렬 $B = [b_{ij}]$의 각 원소를 $b_{ij} = \operatorname{rem}(a_{ij},\, 2)$로 정의하자. 그러면,
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
를 얻는다. 이제 $\det(A)$와 $\det(B)$는 각각 $a_{ij}$와 $b_{ij}$에 관한 다항식으로 주어진다. 또한 각각의 $i,\, j$에 대하여 $a_{ij} \equiv b_{ij} \pmod{2}$가 성립하므로
\[ \det(A) \equiv \det(B) = 1 \pmod{2} \]
가 성립한다. 따라서 $\det(A) \neq 0$이고 $A$의 역행렬이 존재한다..