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풀이. 먼저 모든 $1 \leq n \leq 1009$에 대하여,
\[ \begin{align*}
\min\{a_{n},\, b_{n}\} &\in \{1,\, 2,\, \ldots,\, 1009\} \tag*{$\color{myblue}{(1)}$} \\[5px] \max\{a_{n},\, b_{n}\} &\in \{1010,\, 1011,\, \ldots,\, 2019\} \tag*{$\color{myblue}{(2)}$}
\end{align*} \]
\min\{a_{n},\, b_{n}\} &\in \{1,\, 2,\, \ldots,\, 1009\} \tag*{$\color{myblue}{(1)}$} \\[5px] \max\{a_{n},\, b_{n}\} &\in \{1010,\, 1011,\, \ldots,\, 2019\} \tag*{$\color{myblue}{(2)}$}
\end{align*} \]
를 동시에 만족함을 보일 것이다.
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만약 위 명제가 성립하지 않는다 가정하자. 그러면 적당한 $1 \leq k \leq 1009$가 존재하여, ($\color{myblue}{(1)}$을 만족하지 않는 경우) $a_{k},\, b_{k} \geq 1010$이거나 ($\color{myblue}{(2)}$를 만족하지 않는 경우) $a_{k},\, b_{k} \leq 1009$가 성립한다. 하지만 만약 $a_{k},\, b_{k} > 1009$인 경우
\[ \begin{align*}
1010 \leq a_{k} < a_{k+1} < \cdots < a_{1009} \leq 2018 \\[5px] 1010 \leq b_{k} < b_{k-1} < \cdots < b_{1} \leq 2018
\end{align*} \]
1010 \leq a_{k} < a_{k+1} < \cdots < a_{1009} \leq 2018 \\[5px] 1010 \leq b_{k} < b_{k-1} < \cdots < b_{1} \leq 2018
\end{align*} \]
가 되어 총 1010개의 서로 다른 양의 정수 $b_1,\, b_2,\, \ldots,\, b_{k},\, a_{k},\, a_{k+1},\, \ldots,\, a_{1009}$가 $1010$과 $2018$ 사이에 존재해야 하는데, 이는 비둘기집의 원리에 의해 불가능하다.
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만약 $a_{k},\, b_{k} \leq 1009$인 경우에도 비슷한 논리로 모순을 이끌어 낼 수 있다. 따라서 모든 $1 \leq n \leq 1009$에 대하여 식 $\color{myblue}{(1)}$과 $\color{myblue}{(2)}$가 동시에 성립한다.
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한 편, 임의의 실수 $a,\,b$에 대하여 $\abs{a-b} = \max\{a,\,b\} - \min\{a,\,b\}$가 성립하므로,
\[ \begin{align*}
S &= \abs{a_{1} - b_{1}} + \cdots + \abs{a_{1009} - b_{1009}} \\[5px] &= \Big( \max\{a_{1},\, b_{1}\} - \min\{a_{1},\, b_{1}\} \Big) + \cdots + \Big( \max\{a_{1009},\, b_{1009}\} - \min\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) \\[5px] &= \Big( \max\{a_{1},\, b_{1}\} + \cdots + \max\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) - \Big( \min\{a_{1},\, b_{1}\} + \cdots + \min\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) \\[5px] &= (1010 + 1011 + \cdots + 2018) - (1 + 2 + \cdots + 1009) \\[5px] &= 1018081
\end{align*} \]
S &= \abs{a_{1} - b_{1}} + \cdots + \abs{a_{1009} - b_{1009}} \\[5px] &= \Big( \max\{a_{1},\, b_{1}\} - \min\{a_{1},\, b_{1}\} \Big) + \cdots + \Big( \max\{a_{1009},\, b_{1009}\} - \min\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) \\[5px] &= \Big( \max\{a_{1},\, b_{1}\} + \cdots + \max\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) - \Big( \min\{a_{1},\, b_{1}\} + \cdots + \min\{a_{1009},\, b_{1009}\} \Big) \\[5px] &= (1010 + 1011 + \cdots + 2018) - (1 + 2 + \cdots + 1009) \\[5px] &= 1018081
\end{align*} \]
을 얻는다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 임의의 분할에 대하여 $S$의 값은 언제나 $1018081$임을 알 수 있다..