풀이. $k$개의 임의의 정수 $c_1,\, c_2,\, \ldots,\, c_2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ (c_1 + c_2 + \cdots + c_k)^2 = \sum_{i=1}^{k} c_i^2 + 2 \sum_{i < j} c_ic_j \tag*{$\color{myblue}{(\ast)}$}\] 이제 적당한 정수 $a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_k$가 존재하여 \[ n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2 \] 와 같이 나타내었다고 가정하자. 그러면 위 식 $\color{myblue}{(\ast)}$에 의해 \[ \begin{align*} n^2 &= (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2)^2 \\[5px] &= \sum_{i=1}^{k} a_i^4 + 2 \sum_{i < j} a_i^2a_j^2 \\[5px] &= \sum_{i=1}^{k} a_i^4 + 2 \sum_{j \neq 1} a_1^2a_j^2 + 2 \sum_{1 < i < j} a_i^2a_j^2 \\[5px] &= \sum_{i=1}^{k} a_i^4 - 2 \sum_{j \neq 1} a_1^2a_j^2 + 2 \sum_{1 < i < j} a_i^2a_j^2 + 4 \sum_{j \neq 1} a_1^2a_j^2 \\[5px] &= \sum_{i=1}^{k} a_i^4 + 2 \sum_{j \neq 1} a_1^2(-a_j^2) + 2 \sum_{1 < i < j} (-a_i^2)(-a_j^2) + \sum_{j \neq 1} (2a_1a_j)^2 \\[5px] &= (a_1^2 - a_2^2 - \cdots - a_k^2)^2 + \sum_{j \neq 1} (2a_1a_j)^2 \end{align*} \] 따라서 \[ b_1 = a_1^2 - a_2^2 - \cdots - a_k^2, \quad b_j = 2a_1a_j, \text{ for } j \neq 1 \] 로 정의하면 주어진 정리가 성립한다..