Problems and Solutions #065

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어떤 양의 정수 $n$이 $k$개의 정수의 제곱의 합으로 표현된다면, $n^2$ 또한 $k$개의 정수의 제곱의 합으로 표현됨을 증명하여라. 즉, $a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_k$가 존재하여 \[ n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2 \] 으로 나타낼 수 있다면, 적당한 정수 $b_1,\, b_2,\, \ldots,\, b_k$를 택하여 \[ n^2 = b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_k^2 \] 과 같이 나타낼 수 있음을 증명하여라.

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