풀이 1. 우선 $a + \tfrac{1}{a} = 1$을 만족하는 $a$의 값을 구해보자. \[ a + \frac{1}{a} = a \implies a^2 - a + 1 = 0 \implies a = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \] 따라서 삼각함수를 이용하여 $a = \cos(\tfrac{\pi}{3}) \pm i\sin(\tfrac{\pi}{3})$으로 나타낼 수 있다. 그러면 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)에 의해서 \[ \begin{align*} a^{2019} + \frac{1}{a^{2019}} &= \left( \cos(\tfrac{2019\pi}{3}) \pm i\sin(\tfrac{2019\pi}{3}) \right) + \left( \cos(\tfrac{-2019\pi}{3}) \pm i\sin(\tfrac{-2019\pi}{3}) \right) \\[5px] &= \left( \cos(\tfrac{2019\pi}{3}) \pm i\sin(\tfrac{2019\pi}{3}) \right) + \left( \cos(\tfrac{2019\pi}{3}) \mp i\sin(\tfrac{2019\pi}{3}) \right) \\[5px] &= 2 \cos(\tfrac{2019\pi}{3}) = 2 \cos(673\pi) = 2 \cos(\pi) = -2 \end{align*} \] 을 얻는다..

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풀이 2. 위 풀이를 일반화 해 보자. 우선 적당한 $\theta$에 대하여 $a + \tfrac{1}{a} = 2 \cos(\theta)$가 성립한다고 가정하자. 그러면 근의 공식에 의해서 \[ a + \frac{1}{a} = 2 \cos(\theta) \implies a^2 - 2 \cos(\theta) a + 1 = 0 \implies a = \cos(\theta) \pm i\sin(\theta) \] 임을 확인할 수 있다. 따라서 드 무아브르 공식을 이용하면 \[ \begin{align*} a^{n} + \frac{1}{a^{n}} &= \left( \cos(n \theta) \pm i\sin(n \theta) \right) + \left( \cos(-n \theta) \pm i\sin(-n \theta) \right) \\[5px] &= \left( \cos(n \theta) \pm i\sin(n \theta) \right) + \left( \cos(n \theta) \mp i\sin(n \theta) \right) \\[5px] &= 2 \cos(n \theta) \end{align*} \] 를 얻는다. 위 문제는 $\theta = \tfrac{\pi}{3}$, $n = 2019$인 경우이므로, 이를 대입하여 정리하면 $a^{2019} + \tfrac{1}{a^{2019}} = -2$를 얻는다. 또한 문제를 더욱 일반화 하여 \[ a^{n} + \frac{1}{a^n} = \begin{cases} \phantom{-}1 & \text{if} \;\; n = 1,\,5 \pmod{6} \\[5px] -1 & \text{if} \;\; n = 2,\,4 \pmod{6} \\[5px] -2 & \text{if} \;\; n = 3 \pmod{6} \\[5px] \phantom{-}2 & \text{if} \;\; n = 0 \pmod{6} \end{cases} \] 라는 결론도 얻을 수 있다. 또한 예를 들어 $a + \frac{1}{a} = 2$인 경우, $\theta = 0$이므로 $n$의 값에 관계 없이 $a^n + \frac{1}{a^n} = 2$가 언제나 성립함을 알 수 있다. (이는 $a + \frac{1}{a} = 2$를 만족하는 해가 $a=1$ 뿐이라는 사실로부터 간단히 증명할 수도 있다.).