풀이. 중심이 인 원 위에 두 개의 유리수점 , 가 존재한다고 가정해보자. 이 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선을 이라 하면, 의 방정식은
이다. 가 모두 유리수이므로, 위 식의 와 의 계수는 모두 유리수임을 알수 있다. 따라서 위 식을 간결하게 정리하고 계수들의 분모의 최소공배수를 곱해주면, 적당한 세 정수 에 대하여 로 나타낼 수 있다. 한 편, 원의 중심은 직선 위에 존재하므로,
가 성립한다. 이제 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면,
이다. 하지만 위 식의 좌변 은 무리수인 반면, 우변은 유리수이므로 모순이 발생한다. 따라서 중심이 인 원 위에는 많아야 하나의 유리수점이 존재한다.
Problems and Solutions #075
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