풀이. 중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 두 개의 유리수점 $(p_1,\, q_1)$, $(p_2,\, q_2)$가 존재한다고 가정해보자. 이 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선을 $l$이라 하면, $l$의 방정식은 \[ y - \frac{q_1 + q_2}{2} = - \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1} \left(x - \frac{p_1 + p_2}{2} \right) \] 이다. $p_1,\, q_1,\, p_2,\, q_2$가 모두 유리수이므로, 위 식의 $x$와 $y$의 계수는 모두 유리수임을 알수 있다. 따라서 위 식을 간결하게 정리하고 계수들의 분모의 최소공배수를 곱해주면, 적당한 세 정수 $a,\, b,\, c \in \Z$에 대하여 $ax + by = c$로 나타낼 수 있다. 한 편, 원의 중심은 직선 $l$ 위에 존재하므로, \[ a\sqrt{20} + b \sqrt{19} = c \] 가 성립한다. 이제 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면, \[ 20a^2 + 19b^2 + 2ab\sqrt{380} = c^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{380} = \frac{c^2 - 20a^2 - 19b^2}{2ab} \] 이다. 하지만 위 식의 좌변 $\sqrt{380}$은 무리수인 반면, 우변은 유리수이므로 모순이 발생한다. 따라서 중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에는 많아야 하나의 유리수점이 존재한다.$ $