풀이. 중심이 $(\sqrt{20},\sqrt{19})$인 원 위에 두 개의 유리수점 $(p_1,q_1)$, $(p_2,q_2)$가 존재한다고 가정해보자. 이 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선을 $l$이라 하면, $l$의 방정식은 $$y-\frac{q_1+q_2}{2}=-\frac{p_2-p_1}{q_2-q_1}(x-\frac{p_1+p_2}{2})$$ 이다. $p_1,q_1,p_2,q_2$가 모두 유리수이므로, 위 식의 $x$와 $y$의 계수는 모두 유리수임을 알수 있다. 따라서 위 식을 간결하게 정리하고 계수들의 분모의 최소공배수를 곱해주면, 적당한 세 정수 $a,b,c\in \mathbb{Z}$에 대하여 $ax+by=c$로 나타낼 수 있다. 한 편, 원의 중심은 직선 $l$ 위에 존재하므로, $$a\sqrt{20}+b\sqrt{19}=c$$ 가 성립한다. 이제 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면, $$20a^2+19b^2+2ab\sqrt{380}=c^2\Rightarrow \sqrt{380}=\frac{c^2-20a^2-19b^2}{2ab}$$ 이다. 하지만 위 식의 좌변 $\sqrt{380}$은 무리수인 반면, 우변은 유리수이므로 모순이 발생한다. 따라서 중심이 $(\sqrt{20},\sqrt{19})$인 원 위에는 많아야 하나의 유리수점이 존재한다.$$