풀이. 수열 $7,\, 77,\, 777,\, \ldots$를 생각하자. 이 수열의 $k$번째 항을 $a_k$라 하면, $a_k$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ a_k = 7 \cdot \frac{10^k - 1}{9} \] 이제 $a_k$를 $n$으로 나눈 나머지를 생각해 보자. 수열 $(a_k)$는 무한수열이므로, $n$으로 나누었을 때의 나머지가 같은 두 항이 반드시 존재한다. 이 두 항을 $a_{k_1} > a_{k_2}$라 하자. 그러면 \[ a_{k_1} \equiv a_{k_2} \pmod{n} \quad \Rightarrow \quad a_{k_1} - a_{k_2} \equiv 0 \pmod{n} \] 즉, $a_{k_1} - a_{k_2}$는 $n$으로 나누어 떨어지고, 이 수는 $777\cdots$로 시작해서 $\cdots000$의 형태로 끝나는 수가 된다. 따라서 $m := (a_{k_1} - a_{k_2})/n$을 택하면 주어진 조건을 만족함을 알 수 있다.$ $