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풀이. $z_i = x_i + 1 \geq 0$을 이용하여 주어진 조건을 변형하면 다음을 얻는다.
\[ 0 = \sum_{i=1}^{n} (z_i - 1)^3 = \sum_{i=1}^{n} z_i (z_i^2 - 3z_i + 3) - 1. \]
그러므로 우변의 상수항을 따로 계산하여 \[ n = \sum_{i=1}^{n} z_i (z_i^2 - 3z_i + 3). \] 한 편, 이차방정식 $z^2 - 3z + 3 = \big( z - \frac{3}{2} \big)^2 + \frac{3}{4}$는 최솟값 $\frac{3}{4}$를 가지므로, 모든 $1 \leq i \leq n$에 대하여 $z_i^2 - 3z_i + 3 \geq \frac{3}{4}$가 성립한다. 따라서 \[ n = \sum_{i=1}^{n} z_i (z_i^2 - 3z_i + 3) \geq \frac{3}{4} \sum_{i=1}^{n} z_i = \frac{3}{4} \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i + 1 \bigg) = \frac{3}{4} \sum_{i=1}^{n} x_i + \frac{3n}{4}. \] 따라서 위 식을 정리하면 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \leq \frac{n}{3}$이 성립함음 알 수 있다.$ $