위 등식의 양변을 $abc$로 나누어 주고, $\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}\ge \frac{1}{c}$라는 사실을 이용하면 아래의 부등식을 얻는다.

위 부등식의 우변은 $1$보다 크므로 $a<6$임을 알 수 있다. 이제 식 $(\ast )$를 정리하면

를 얻는다. 따라서 식 $(\ast \ast )$에 $1\le a\le 5$인 경우를 각각 대입하여 살펴보면,

1. $a=1$인 경우, $-bc-(b+c)+1=0$ 또는 $bc+b+c=1$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,c)$는 존재하지 않는다.
2. $a=2$인 경우, $-3(b+c)+5=0$ 또는 $3(b+c)=5$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,c)$는 존재하지 않는다.
3. $a=3$인 경우, $bc-5(b+c)+3=0$ 또는 이 식을 정리하여 $(b-5)(c-5)=22$를 얻는다. 따라서 $(b-5,c-5)=(1,22)$ 또는 $(2,11)$이여야 하고, $(b,c)=(6,27)$ 또는 $(7,16)$이여야 함을 알 수 있다.
4. $a=4$인 경우, $2bc-7(b+c)+4=0$ 또는 이 식을 정리하여 $(2b-7)(2c-7)=41$을 얻는다. 따라서 $(2b-7,2c-7)=(1,41)$이고, 이 경우 $(b,c)=(4,24)$를 얻는다.
5. $a=5$인 경우, $3bc-9(b+c)+5=0$ 또는 $3[(b+c)-bc]=5$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,c)$는 존재하지 않는다.

따라서 모든 경우를 고려했을 때, 문제의 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍은

의 세 쌍이 전부임을 알 수 있다..