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풀이. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은
\[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$와 같이 나타낸다.
이제 포아송 분포 $X_n \sim \operatorname{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠한 사건이 $n$번 이하 일어날 확률은
\[ \mathbb{P}(X_n \leq n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k e^{-n}}{k!} = e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} \]
임을 알 수 있다. 또한 $i=1,\, \ldots,\, n$에 대하여, $Y_i$가 독립(independent)이고 포아송 분포 $Y_i \sim \operatorname{Poission}(1)$을 따른다고 하자. 그러면 포아송 분포의 성질에 의해
\[ Y_1 + \cdots + Y_n \sim \operatorname{Poisson}(n) \sim X_n \]
이고 또한
\[ \mathbb{P} \left( \sqrt{n} \left( \frac{Y_1 + \cdots + Y_n}{n} - 1 \right) \leq 0 \right) = \mathbb{P}( Y_1 + \dots + Y_n \leq n) = \mathbb{P}(X_n \leq n) \tag*{$(\ast)$}\]
임을 알 수 있다. 이제 중심극한정리(central limit theorem)에 의하면 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 독립동일분포 $Y_1,\, \ldots,\, Y_n,\, \ldots$에 대하여
\[ \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left( \frac{Y_1 + \cdots + Y_n}{n} - \mu \right) \xrightarrow{d} N(0,\,1) \]
이 성립한다. 따라서 식 $(\ast)$의 좌변의 분포는 $\mu = \sigma = 1$인 경우이므로, 역시 $\operatorname{N}(0,\,1)$로 분포수렴함을 알 수 있다. 그러므로
\[ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} &= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_n \leq n) \\ &= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left( \sqrt{n} \left( \frac{Y_1 + \cdots + Y_n}{n} - 1 \right) \leq 0 \right) \\[5pt] &= \mathbb{P} (\operatorname{N}(0,\, 1) \leq 0) \\[5pt] &= \frac{1}{2} \end{align*} \]
임을 알 수 있다. 따라서 주어진 극한의 극한값은 $\frac{1}{2}$이다..