우선 문제를 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 일반화 하도록 하자. 주어진 양의 정수 $n$에 대하여, 집합 \[ S^n = \{ 1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, n \} \] 을 정의하자. 이제 $S^n$의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 각각 $S^n_1,\, \ldots,\, S^n_{2^n-1}$이라 할 때, \[ \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{P(S^n_k)} = n \tag*{$\myblue{(\ast)}$} \] 이 성립함을 보일 것이다. 그러면 주어진 문제는 $n=2018$인 특별한 경우임을 알 수 있다.

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풀이 1. 수학적 귀납법을 이용한다. 먼저 $n=1,\,2$인 경우, 식 $\myblue{(\ast)}$이 성립함은 자명하다. 이제 $n=m$인 경우 식 $\myblue{(\ast)}$이 성립한다 가정하고, $n = m+1$인 경우를 생각해 보자. 이제 집합 $S^{m+1}$의 공집합이 아닌 부분집합들은

• $S^m$의 공집합이 아닌 부분집합
• $S^m$의 공집합이 아닌 부분집합과 $m+1$의 합집합
• $m+1$

의 세 가지 경우로 분류할 수 있다. 따라서 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{2^{m+1}-1} \frac{1}{P(S^{m+1}_k)} &= \sum_{k=1}^{2^m-1} \frac{1}{P(S^m_k)} + \frac{1}{m+1} \sum_{k=1}^{2^m-1} \frac{1}{P(S^m_k)} + \frac{1}{m+1} \\[5px] &= m + \frac{m}{m+1} + \frac{1}{m+1} \\[5px] &= m+1 \end{align*} \] 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 양의 정수 $n$에 대하여 식 $\myblue{(\ast)}$이 성립한다..

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풀이 2. 임의의 집합 $A = \{a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n\}$이 주어졌다고 하자. 그러면 $A$의 공집합이 아닌 모든 부분집합의 원소들의 곱은 \[ (1 + a_1)(1 + a_2) \cdots (1 + a_n) - 1 \] 을 계산하여 구할 수 있다. 실제로 위 식을 전개하면 각각의 항이 $A$의 어떤 부분집합의 원소들의 곱을 나타냄을 확인하자. 한 편, 식 $(\ast)$의 값은 집합 \[ T^n = \left\{ 1,\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{3},\, \ldots,\, \frac{1}{n} \right\} \] 의 공집합이 아닌 모든 부분집합의 원소들의 곱과 같다. 그러므로 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{2^{m+1}-1} \frac{1}{P(S^{m+1}_k)} &= \left( 1 + \frac{1}{1} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - 1 \\[5px] &= \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{n} - 1 \\[5px] &= n \end{align*} \] 을 얻는다..