위의 질문에 관한 간단하지만 신기한 증명이 있어서 올려본다.
증명. 만약 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$가 유리수라면 간단히 $s = t = \sqrt{2}$로 정의하는 것으로 증명이 끝난다. 만약 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$이 무리수라면, $s = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, $t = \sqrt{2}$로 정의하자. 그러면
\[ s^t = \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \left( \sqrt{2} \right)^2 = 2. \]
따라서 증명이 끝난다..
(그 증명이 쉽지는 않지만 실제로 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$는 무리수이다.)