산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean) 임의의 두 양의 실수 $x,\, y > 0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $x$와 $y$의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 아래와 같이 정의한다. \[ A(x,\,y) = \frac{x + y}{2},... Read more »
이번 글에서는 언뜻 보면 너무나도 자명한 명제 "두 점을 연결하는 최단경로는 직선이다"를 수학적으로 증명해 볼 것이다. 이 명제는 보통 변분법(calculus of variation)이라는 미적분학의 한 분야에서 널리 쓰이는 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을... Read more »
예전에 "초등학생들의 꿈"이라는 주제의 글을 퍼온적이 있다. http://jjycjnmath.tistory.com/307 위 글에서 "대학생들의 꿈"이라 불리는 정리를 간단하게 언급한 적이 있는데 이번 글에서는 이에 대해서 좀 더 자세히 설명하고자 한다. 대학교 1학년생의... Read more »
오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)는 조화급수를 자연로그로 근사했을 때의 오차의 값을 나타내는 수학 상수이다. 즉, 아래와 같이 정의된다. \begin{align*} \gamma &= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right) \\[5pt]... Read more »
정리. 원주율 $\pi$는 무리수(irrational)이다. 증명. 모순을 이끌어 내기 위해 원주율 $\pi$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,\,b$가 존재하여 $e = \frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제... Read more »
정리. 오일러 상수 $e$는 무리수(irrational)이다. 증명. 먼저 $e$의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자. \[ S_n := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{k!}... Read more »
조던 부등식(Jordan Inequality)은 프랑스의 수학자 조던(Camille Jordan)에 의해 증명된 부등식으로, 사인(sine) 함수와 두 일차 함수에 관한 다음의 부등식을 말한다. $ $ 정리. 조던 부등식(Jordan Inequality) 모든 $x \in [0,\, 1/2]$에... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »