실해석학에서 옹골집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다. $... Read more »
아래의 정리는 $n$개의 실근을 가지는 실계수 다항식 $p(x)$의 해의 위치를 근사할 수 있는 정리이다. 예를 들어 다음의 3차 방정식을 생각해 보자. \[ x^3 - 2x^2 - x + 2 =... Read more »
주어진 실함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대하여, $f$가 $k$번 미분 가능하고 $k$계 도함수(derivative)가 연속(continuous)이면, $f$를 $C^k$ 함수라고 한다. (이때, $C^k$는 앞선 조건을 만족하는 모든 함수들의 집합을 뜻한다.) 예를 들어... Read more »
이전 포스트에서 여러가지 공간(space)에 대한 정의에 대해 살펴보았다. 이번 포스트에서는 각 공간들 사이에 포함관계에 대해서 알아보도록 한다. 실제로 수학에서 쓰이는 수학적 공간은 아래에 열거된 것 보다 훨씬 범위가 넓다. 예를... Read more »
수학에서의 공간(Space)이란 집합에 어떠한 연산 혹은 구조를 부여한 것을 말한다. 수학의 모든 정의가 어떤 특정한 공간 위에서 이루어지고 어떠한 공간에서 성립하는 정의가 다른 공간에서는 성립하지 않는 경우가 많기 때문에, 지금... Read more »
고등학교에서 삼각함수를 배우면 가장 먼저 배우는 항등식 \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \tag*{$(\ast)$}\] 에 대해서 생각해 보자. 아마 식 $(\ast)$을 피타고라스 정리의 이용하여 증명하는 방법을 배웠을 것이다.... Read more »
산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean) 임의의 두 양의 실수 $x,\, y > 0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $x$와 $y$의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 아래와 같이 정의한다. \[ A(x,\,y) = \frac{x + y}{2},... Read more »
이번 글에서는 언뜻 보면 너무나도 자명한 명제 "두 점을 연결하는 최단경로는 직선이다"를 수학적으로 증명해 볼 것이다. 이 명제는 보통 변분법(calculus of variation)이라는 미적분학의 한 분야에서 널리 쓰이는 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을... Read more »
예전에 "초등학생들의 꿈"이라는 주제의 글을 퍼온적이 있다. http://jjycjnmath.tistory.com/307 위 글에서 "대학생들의 꿈"이라 불리는 정리를 간단하게 언급한 적이 있는데 이번 글에서는 이에 대해서 좀 더 자세히 설명하고자 한다. 대학교 1학년생의... Read more »
오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)는 조화급수를 자연로그로 근사했을 때의 오차의 값을 나타내는 수학 상수이다. 즉, 아래와 같이 정의된다. \begin{align*} \gamma &= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right) \\[5pt]... Read more »