오욱환 (이화여자대학교 교수) 인생은 너무나 많은 우연들이 필연적인 조건으로 작용함으로써 다양해집니다. 대학에 진학한 후에는 전공분야에 따라 전혀 다른 인생길로 접어든다는 사실에 놀라기도 했을 겁니다. 전공이 같았던 동년배 학우들이 각기... Read more »
지뢰찾기(minesweeper) 게임란 $m \times n$ 크기의 격자에 주어진 숫자를 바탕으로 각 격자에 숨어 있는 지뢰를 모두 찾는 게임이다. 이 때, 각 격자에 주어지는 숫자는 그 격자에 인접한 8개의 격자에 위치한... Read more »
특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자. 각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$ deg rad deg rad 0 0 $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{0}}}{2}$ $=$... Read more »
정리. 에르미트 항등식(Hermite's identity) 임의의 실수 $x \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x... Read more »
에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)이란 볼록함수에 대해 성립하는 부등식 중 하나로써, 볼록함수(convex function) $f:[a,\,b] \to \R$에 대하여 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 적분한 적분값의 평균을 간단히 근사하는 방법을 제공한다. 이번 글에서는 에르미트-아다마르 부등식을... Read more »
$\newcommand{\Prime}{\mathbb{P}}$조화급수(harmonic series)의 합, 즉 자연수의 역수의 합이 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty \] 자연수의 역수의... Read more »
이번 글에서는 아래와 같은 형태의 문제에 대해서 생각해 볼 것이다. 목욕탕에 $n$명의 사람이 있다고 하자. 이 때, 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서 서로가 앞사람의 등을 밀어주는 경우의 수 $D_n$은... Read more »
이번에 설명할 공식은 영국의 천문학자이자 수학자 에드몬드 핼리(Edmond Halley)가 발견한 자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한으로 표현하는 방법이다. 정리. 임의의 $x>0$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \ln{x} = \lim_{n \to \infty}... Read more »
탄젠트(tangent) 함수의 도함수(derivative)를 살짝만 변형해 보면 아래의 공식을 얻는다. \[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, \tan(x) &= \sec^2(x) \\[5pt] &= 1 + \tan^2(x) \\[5pt] &= \left[ \sin^2(x) + \cos^2(x) \right] + \tan^2(x). \end{aligned}... Read more »
아래와 같은 조화급수(harmonic series)를 생각해 보자. \[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots \] 이 급수가 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다. 즉, 충분히... Read more »