더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값

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특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자.

 

각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$
deg rad deg rad
0 0 $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{0}}}{2}$ $=$ $0$ 90 $\dfrac{\pi}{2}$
30 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$
45 $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}{2}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$
60 $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{3}}}{2}$ 30 $\dfrac{\pi}{6}$
90 $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{4}}}{2}$ $=$ $1$ 0 0

 

 

이번 글에서는 위의 표를 더 많은 특수각들에 대한 삼각함수의 값을 포함하도록 확장해볼 것이다. 물론 삼각함수에 대한 다양한 공식을 (합공식, 반각공식, 배각공식 등...) 활용하여 아래의 값들을 구할 수도 있지만, 아래 표에서 볼 수 있듯이 파란색으로 표시한 부분의 숫자만이 변화하기 때문에, 일단 규칙을 외워두면 일반적인 삼각함수의 값 또한 더욱 빨리 계산할 수 있을 것이다.

 

각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$
deg rad deg rad
0 0 $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{4}}}}{2}$ $=$ $0$ 90 $\dfrac{\pi}{2}$
15 $\dfrac{\pi}{12}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{3}}}}{2}$ 75 $\dfrac{5\pi}{12}$
22.5 $\dfrac{\pi}{8}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ 67.5 $\dfrac{3\pi}{8}$
30 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$
45 $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{2 \,\smash{\mp}\, \sqrt{\textcolor{blue}{0}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$
60 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 30 $\dfrac{\pi}{6}$
67.5 $\dfrac{3\pi}{8}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ 22.5 $\dfrac{\pi}{8}$
75 $\dfrac{5\pi}{12}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{3}}}}{2}$ 15 $\dfrac{\pi}{12}$
90 $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{4}}}}{2}$ $=$ $1$ 0 0

 

 

한발 더 나아가 보자. 황금비를 이용하면 더 많은 삼각함수의 값을 나타낼 수 있다. 여기서 황금비 $\Phi$, $\phi$란 아래의 두 값

\[ \Phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1.618\cdots, \qquad \phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 0.618\cdots \]

를 각각 나타낸다. 이 값들을 이용하여 더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값을 표현할 수 있다. 역시 파란색으로 표시한 숫자들의 변화에 주목하자.

 

각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$
deg rad deg rad
0 0 $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{2}}}}{2}$ $=$ $0$ 90 $\dfrac{\pi}{2}$
9 $\dfrac{\pi}{20}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ 81 $\dfrac{9\pi}{20}$
15 $\dfrac{\pi}{12}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ 75 $\dfrac{5\pi}{12}$
18 $\dfrac{\pi}{10}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\Phi}}{2}$ 72 $\dfrac{2\pi}{5}$
22.5 $\dfrac{\pi}{8}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 \pm \textcolor{blue}{0}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ 67.5 $\dfrac{3\pi}{8}$
27 $\dfrac{3\pi}{20}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ 63 $\dfrac{7\pi}{20}$
30 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$
36 $\dfrac{\pi}{5}$ $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2-\phi}}{2}$ 54 $\dfrac{3\pi}{10}$
45 $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{2 \mp \sqrt{2-\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$
54 $\dfrac{3\pi}{10}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2 + \phi}}{2}$ 36 $\dfrac{\pi}{5}$
60 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 30 $\dfrac{\pi}{6}$
63 $\dfrac{7\pi}{20}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ 27 $\dfrac{3\pi}{20}$
67.5 $\dfrac{3\pi}{8}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 \mp \textcolor{blue}{0}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 22.5 $\dfrac{\pi}{8}$
72 $\dfrac{2\pi}{5}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2 + \Phi}}{2}$ 18 $\dfrac{\pi}{10}$
75 $\dfrac{5\pi}{12}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{1}}}}{2}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 15 $\dfrac{\pi}{12}$
81 $\dfrac{9\pi}{20}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ 9 $\dfrac{\pi}{20}$
90 $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{2}}}}{2}$ $=$ $1$ 0 0