정리. 원주율 $\pi$는 무리수(irrational)이다. 증명. 모순을 이끌어 내기 위해 원주율 $\pi$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,\,b$가 존재하여 $e = \frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제... Read more »
정리. 오일러 상수 $e$는 무리수(irrational)이다. 증명. 먼저 $e$의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자. \[ S_n := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{k!}... Read more »
조던 부등식(Jordan Inequality)은 프랑스의 수학자 조던(Camille Jordan)에 의해 증명된 부등식으로, 사인(sine) 함수와 두 일차 함수에 관한 다음의 부등식을 말한다. $ $ 정리. 조던 부등식(Jordan Inequality) 모든 $x \in [0,\, 1/2]$에... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »
적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는... Read more »
미적분학(Calculus)에서 주어진 함수의 부정적분(indefinite integrals)을 구할 때, 치환적분, 부분적분 등의 기본적인 방법에 더해 삼각치환(substitution by trigonometries)라는 방법이 많이 쓰인다. 이는 주어진 피적분 함수(integrant)의 변수를 적당한 삼각함수의 형태로 치환하는 방법으로, 특정한 형태의... Read more »
적분(Integration)은 미분(Differentiation)과 함께 미적분학(Calculus)에서 가장 중요한 두가지 연산 중 하나이다. 하지만, 적분의 경우 미분해 비해 상대적으로 계산이 까다롭고, 심지어는 어떤 함수의 부정적분(Indefinite Integral)은 초등적인 함수로 표현이 불가능한 경우가 많다. 그래서... Read more »
테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법중 하나이다. 이 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 그레고리(James Gregory)가 시초지만 1715년 이후, 영국의 수학자 테일러(Brook Taylor)에 의해 널리 알려지게 되었다. 먼저... Read more »
이번 글의 목적은 $\R^m$에서 $\R^n$으로의 전단사함수(bijection)를 정의하는 것이다. 그러면 이 사실로부터 $\R^m$과 $\R^n$의 기수(cardinality)가 같음을 알 수 있다. $ $ 먼저 $f : \R^2 \to \R$이 $\R^2$에서 $\R$로의 전단사함수라 가정해보자.... Read more »