실벡터공간(real vector space)이란, 주어진 공간의 (벡터(vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼 자유롭게 늘이거나... Read more »
우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱... Read more »
저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다. \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}... Read more »
중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다.... Read more »
임의의 내적공간 $(V,\, \langle \cdot,\, \cdot \rangle)$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 원소 $x \in V$에 대하여, 아래과 같이 노름(norm)을 자연스럽게 정의할 수 있다. \[ \Vert x \Vert := \sqrt{\langle x,\,... Read more »
측도공간(measure space) $(X,\, \mathscr{A},\, \mu)$가 주어졌다고 하자. 측도란 특정 집합에 일종의 '길이' 또는 '크기'를 부여 하는 개념이다. 따라서 주어진 측도(measure)로 부터 두 집합 사이의 '거리'를 부여하는 거리함수(metric)를 정의할 수 있지 않을까? ... Read more »
\( x^{2} + 1 = 0 \)이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(x^{2} = -1\)을 만족하는 \(x\)의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은... Read more »
해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)는 두 수열 $a_n$과 $b_n$의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 이는 체사로 평균(Cesaro mean)의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈 정리(L'hospital theorem)의 이산적인 형태로 볼 수... Read more »
예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명을 올린 적이 있다. $ $ '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'의 증명 $ $ 위 글의 증명은 소인수분해의 유일성을 이용한 증명이었는데, 이번 글에서는 또 다른... Read more »
실해석학에서 옹골집합(compact set)에 대한 개념을 배우고 난 후 배우는 수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 정리가 하나 있다. 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 이 정리는 아래와 같다. $... Read more »