미적분학에서 흔히 샌드위치 정리(sandwich theorem)로 잘 알려진 정리는 다음을 말한다. $ $ 정리. 샌드위치 정리(sandwich theorem) 점 $a$를 포함하는 구간 $I$에서 정의된 세 함수 $f$, $g$, $h$가 다음 조건을 만족한다고... Read more »
$1$부터 $9$까지의 모든 수를 내림차순(descending order)으로 적은 수 $987654321$과 오름차순(ascending order)으로 적은 수 $123456789$를 비교해 보면, 처음 수가 나중 수의 대략 $8$배 가량 된다는 사실을 확인할 수 있다. 이 관계를... Read more »
예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'라는 명제에 대한 두가지 증명을 올린 적이 있다. $ $ '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또다른 증명 $ $ 이번에는... Read more »
대칭수(panlindromic number)란, 주어진 숫자를 순서대로 읽은 것과 거꾸로 읽은 것이 일치하는 수를 말한다. 예를 들어 $11$, $252$, $3773$과 같은 수들은 모두 대칭수이다. 숫자를 아무거나 선택하라. 대칭수와 관련해서 1984년 4월 컴퓨터... Read more »
임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 계승(factorial)을 다음과 같이 정의한다. \[ n! := \prod_{k=1}^{n} k = n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] $n =... Read more »
$U \subset \R^n$이 열린 볼록집합(open convex set)이라 하자. 이제 $U$ 위에서 주어진 벡터 함수 $F : U \to \R$의 편도함수가 모두 연속이고 \[ \partial_1 F(\vec{x}) = \partial_1 F(\vec{x}) = \cdots... Read more »
조립제법의 원리 정리. 루피니-호너 방법(Ruffini-Horner method) 다항식 $p(x)$가 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[ p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n} \] 이제 주어진 실수... Read more »
도함수와 원시함수가 같은 함수 지수함수 $f(x) = e^x$는 굉장히 특별한 성질을 가지고 있는 함수이다. 이 함수를 미분하면 $f'(x) = e^x$이다. 또한 이 함수를 적분하면, 즉, 이 함수의 원시함수(primitive function)를 $F(x)$를... Read more »
지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를... Read more »
이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자. 먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과... Read more »