피자 정리(pizza theorem)

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미적분학에서 흔히 샌드위치 정리(sandwich theorem)(1)로 잘 알려진 정리는 다음을 말한다.

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정리. 샌드위치 정리(sandwich theorem)

점 $a$를 포함하는 구간 $I$에서 정의된 세 함수 $f$, $g$, $h$가 다음 조건을 만족한다고 하자.

  1. 모든 $x \in I$에 대하여, $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$.
  2. $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$.

그러면 $\lim_{x \to a} f(x) = L$이 성립한다.

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위 정리의 상황에 맞게 세 함수 $f$, $g$, $h$의 개형을 그려보면 다음을 얻는다.

위 그림에서 알 수 있듯이, 우리가 알고자 함수 $f$가 두 함수 $g$와 $h$ 사이에 끼인 모습이 샌드위치와 비슷하다고 하여 샌드위치 정리라는 이름이 붙어 있다. 수학에서는 이와 같이 재미있는 이름이 붙은 정리가 많은데, 오늘 설명할 피자 정리(pizza theorem)도 그 중 하나이다.

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피자 정리(pizza theorem)

다음과 같은 문제 상황을 생각해 보자.

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철수와 영희 둘이서 피자를 나누어 먹기 위하여 피자를 한 판 주문하였다. 나중에 피자를 배달 받고 나니, 피자는 정확히 $45^{\circ}$의 일정한 각도로 잘려 $8$등분이 되어 있었지만 피자의 중심을 기준으로 잘려 있지 않아서, 피자의 크기가 모두 제각각이었다.

이러한 상황에서 철수와 영희가 정확하게 동일한 양의 피자를 먹기 위해서는 어떻게 해야 할까?

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이 문제의 정답은 다음 그림과 같이 철수와 영희가 (반시계 방향 또는 시계 방향으로) 한개씩 번갈아 가며 피자를 먹는 것이다.

하지만 철수와 영희가 위 그림과 같이 피자 조각을 나누어 먹는다고 했을 때, 정말도 두 사람이 먹게 되는 양이 같음을 어떻게 증명할 수 있을까? 우선 위 문제 상황을 수학적으로 기술하고 이에 대한 증명을 살펴 보자.

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정리. 피자 정리(pizza theorem)

반지름이 $r$인 원의 내부에 한점 $P$를 택한다. 이제 점 $P$를 지나는 $4$개의 직선을 그리되, 각 직선을 사이의 각이 모두 $\frac{\pi}{4}$로 일정하게 그린다. 그러면 원이 $8$개의 서로 다른 영역으로 분할되는데, 각 영역을 (반시계 방향 또는 시계 방향으로) 파란색과 빨간색을 번갈아 가며 칠한다. 그러면 파란색으로 칠해진 영역들의 넓이와 빨간색으로 칠해진 영역들의 넓이는 언제나 같다.

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위 정리를 증명하기 위해서는 다음의 보조정리가 필요하다.

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보조정리.

반지름이 $r$인 원의 내부에 한점 $P$를 택한다. 이제 점 $P$에서 수직으로 만나는 두 할선을 그리고 이 할선과 원의 교점을 각각 $A$, $B$, $C$, $D$라 하자. 그러면 다음 식이 언제나 성립한다.

\[ \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PD}^2 = 4r^2 \tag*{$(\ast)$} \]

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증명. 먼저 점 $O$에서 선분 $AC$와 $BD$에 각각 수선의 발을 내려 생기는 교점을 각각 $M$, $N$이라 하자.

그러면 피타고라스 정리에 의해

\[ r^2 = \overline{OC}^2 = \overline{CM}^2 + \overline{OM}^2 \]

를 얻는다. 여기서

\[ \begin{align*} \overline{CM} &= \frac{\overline{PA} + \overline{PC}}{2} \\[5px] \overline{OM} &= \overline{PN} = \overline{PB} - \overline{NB} =\overline{PB} - \frac{\overline{PB} - \overline{PD}}{2} = \frac{\overline{PB} - \overline{PD}}{2} \end{align*} \]

가 성립한다. 한편, $\triangle PAD$와 $\triangle PCB$가 닮음이라는 사실로부터, $\overline{PA}\overline{PC} = \overline{PB}\overline{PD}$가 성립하므로,

\[ \begin{align*} r^2 &= \overline{CM}^2 + \overline{OM}^2 \\[5px] &= \left( \frac{\overline{PA} + \overline{PC}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\overline{PB} - \overline{PD}}{2} \right)^2 \\[5px] &= \frac{1}{4} \left[ \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PD}^2 + 2 (\overline{PA} \cdot \overline{PC} - \overline{PB} \cdot \overline{PD}) \right] \\[5px] &= \frac{1}{4} \left[ \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PD}^2 \right] \end{align*} \]

따라서 식 $(\ast)$가 성립함을 알 수 있다..

 

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피자 정리의 증명. 점 $P$의 좌표가 $(x,\,0)$에 위치하게끔 원을 적당히 이동하자.

또한 각 $\theta_0 \in [0,\, \frac{\pi}{4})$를 $x$-축과 (반시계 방향으로) $x$-축에 가장 인접한 첫번째 선분과 사이의 각으로 정의하자. 또한 각각의 $\theta \in [0,\, 2\pi]$에 대하여 $r(\theta)$를 점 $P$에서 각 $\theta$ 방향으로 반직선을 그었을 때, 이 반직선과 원의 교점과 점 $P$ 사이의 거리로 정의하자.

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그러면 파란색으로 칠해진 영역들의 넓이는 극좌표를 이용한 적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ \begin{align*} & \int_{\theta_0}^{\theta_0 + \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}r^2(\theta) \,d\theta + \int_{\theta_0 + \frac{\pi}{2}}^{\theta_0 + \frac{3\pi}{4}} \frac{1}{2}r^2(\theta) \,d\theta + \int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + \frac{5\pi}{4}} \frac{1}{2}r^2(\theta) \,d\theta + \int_{\theta_0 + \frac{3\pi}{2}}^{\theta_0 + \frac{7\pi}{4}} \frac{1}{2}r^2(\theta) \,d\theta \\[5px] & \qquad = \int_{\theta_0}^{\theta_0 + \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \left[ r^2(\theta) + r^2 \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + r^2(\theta + \pi) + r^2 \left( \theta + \frac{3\pi}{2} \right) \right] d\theta \\[5px] & \qquad = \int_{\theta_0}^{\theta_0 + \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} (4r^2) \,d\theta \\[5px] & \qquad = \frac{\pi r^2}{2} \end{align*} \]

여기서 두번째 등식은 보조정리의 식 $(\ast)$를 이용한 것이다. 또한 위 적분 결과값은 각 $\theta_0$에 의존하지 않음을 알 수 있다. 이제 동일한 방법으로 빨간색으로 칠해진 영역들의 넓이 또한 $\frac{\pi r^2}{2}$를 얻을 수 있고, 이는 파란색으로 칠해진 영역들의 넓이와 빨간색으로 칠해진 영역들의 넓이가 서로 같음을 보여준다..

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피자 정리의 확장

이번에는 철수와 영희가 커다란 페퍼로니가 하나 올려져 있는 페퍼로니 피자를 주문했다고 하자. 만약 페퍼로니와 피자가 동심원을 이루고 있다면, 원의 중심을 기준으로 피자를 $8$등분 하여 철수와 영희 모두 피자와 페퍼로니를 동일한 양씩 먹을 수 있다. 하지만 페퍼로니의 중심과 피자의 중심이 서로 일치하지 않는 경우에는 피자를 어떻게 잘라야 철수와 영희 모두 동일한 양을 먹을 수 있을까?

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이 문제 역시 피자 정리를 이용하면 간단히 해결할 수 있다. 피자와 페퍼로니의 공통 영역에 속한 한 점 $P$를 택한 후에 점 $P$를 지나는 $4$개의 직선을 그리되, 각 직선을 사이의 각이 모두 $\frac{\pi}{4}$로 일정하게 그린다. 그러면 피자 정리에 의해서 페퍼로니와 피자 모두 동일한 양을 먹을 수 있다.

만약 위 그림의 오른쪽 같이 페퍼로니가 피자 밖으로 삐져 나오더라도, 페퍼로니와 피자의 공통 영역이 존재하는 한 피자 정리를 적용할 수 있다.

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이제 철수와 영희, 그리고 민재 세명이 피자 한판을 나누어 먹어야 한다면 피자를 어떻게 나누어야 할까? 만약 지숙이까지 네명이서 나누어 먹어야 한다면? 일반적으로 $n$명의 사람이 피자를 동일한 양씩 나누어 먹기 위해서는 피자를 $4n$개의 조각으로 잘라서 (시계 또는 반시계 방향으로) 차례대로 한조각씩 먹으면 $n$명의 사람들이 모두 동일한 양을 먹을 수 있다. 이 사실은 위의 피자 정리를 증명한 것과 동일한 방법으로 증명이 가능하다.

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다음은 일반화 된 형태의 피자 정리이다.(2)

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정리. 일반화 된 피자 정리(generalized pizza theorem)

중심이 $O$이고 반지름이 $r$인 원의 내부에 한점 $P$를 택한다. 그리고 주어진 양의 정수 $N \in \N$에 대하여, 점 $P$를 지나는 $2N$의 직선을 그리되, 각 직선들 사이의 각이 모두 $\frac{\pi}{2n}$로 일정하게 그린다. 그러면 원이 $2N$개의 서로 다른 영역으로 분할되는데, 각 영역을 (반시계 방향 또는 시계 방향으로) 파란색과 빨간색을 번갈아 가며 칠한다. 그러면 다음이 성립한다.

  1. $N \geq 4$이고 짝수인 경우 또는 $2N$개의 직선 중 어느 하나가 원의 중심 $O$를 지나는 경우, 두 영역의 넓이는 서로 같다.
  2. $N = 1$, $N = 2$, 또는 $N \equiv 3 \pmod{4}$인 경우, 원의 중심 $O$를 포함하는 영역의 넓이가 그렇지 않은 영역의 넓이보다 크다.
  3. $N \geq 5$이고 $N \equiv 1 \pmod{4}$인 경우, 원의 중심 $O$를 포함하는 영역의 넓이가 그렇지 않은 영역의 넓이보다 작다.

 

  1. 혹은 조임정리(squeeze theorem)라고도 한다.
  2. https://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/pizza/Pizza_Conjecture.pdf