택시캡수(taxicab number)와 캡택시수(cabtaxi number)

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다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다.

1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 $1729$였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게 말을 건냈다. "내가 타고 온 택시의 번호는 $1729$였어. 그런데 이 숫자는 너무 평범한 숫자라, 이게 나쁜 징조가 아니길 바랬다네." 하디가 말하자, 라마누잔은 즉시 대답했다. "아닙니다. 매우 흥미로운 수입니다. 왜냐하면 $1729$는 두 개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 수들 중 가장 작은 수이기 때문이죠."

실제로 $1729$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3 \]

따라서 라마누잔은 이는 $1729$가 $n = a^3 + b^3 = c^3 + d^3$의 형태로 나타낼 수 있는 $n$ 중에서 가장 작은 수임을 그 자리에서 지적한 것이다.

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택시캡수(taxicab number)

일반적으로 $\operatorname{Taxicab}(n)$ 또는 $\operatorname{Ta}(n)$으로 나타내는 $n$번째 택시캡수(taxicab number)는 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $n$가지인 수들 중 가장 작은 양의 수로 정의된다. 따라서 라마누잔에 의하면, $\operatorname{Taxicab}(2) = 1729$라는 사실을 알 수 있다. 또한 간단한 계산을 통해서 $2 = 1^{3} + 1^{3}$이고 $1$은 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 없으므로, $\operatorname{Taxicab}(1) = 2$를 얻는다. 하지만 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $3$가지인 (가장 작은) 수를 찾는 것은 컴퓨터를 이용하더라도 생각보다 만만치 않을 것이다. 일반적으로 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $n$가지인 수가 실재로 존재함을 어떻게 알 수 있을까?

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정리. 택시캡수의 존재성

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $n$가지인 수가 언제나 존재한다.

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증명. 주어진 양의 정수 $n$에 대하여

\[ \frac{x_1}{4^{n-1} y_1} \]

의 값을 충분히 크게 만드는 두 양의 유리수 $x_1,\, y_1$을 택하자. 이제

\[ X = \frac{x_1(x_1^3 + 2y_1^3)}{x_1^3 - y_1^3}, \quad Y = \frac{y_1(2x_1^3 + y_1^3)}{x_1^3 - y_1^3} \]

으로 정의하면 간단한 계산을 통해 $X^3 - Y^3 = x_1^3 = y_1^3$이 성립함을 확인할 수 있다. 다음으로

\[ x_2 = \frac{X(X^3 - 2Y^3)}{X^3 + Y^3}, \quad y_2 = \frac{Y(2X^3 - Y^3)}{X^3 + Y^3} \]

을 정의하자. 그러면 마찬가지로 간단한 계산을 통해 $x_2^3 + y_2^3 = X^3 - Y^3$임을 확인할 수 있다. 따라서

\[ x_1^3 + y_1^3 = x_2^3 + y_2^3 \]

을 얻는다. 한 편, $X,\,Y$는 모두 양의 유리수이고, $x_1$의 값이 $y_1$의 값보다 훨씬 크므로

\[ \frac{X}{Y} = \frac{x_1(x_1^3 + 2y_1^3)}{y_1(2x_1^3 + y_1^3)} \approx \frac{x_1}{2y_1} \]

이 성립한다. 마찬가지로 $x_2,\, y_2$ 또한 모두 양의 유리수이고, $X$의 값이 $Y$의 값보다 훨씬 크므로

\[ \frac{x_2}{y_2} = \frac{X(X^3 - 2Y^3)}{Y(2X^3 - Y^3)} \approx \frac{X}{2Y} = \frac{x_1}{4y_1} \]

이 성립한다. 따라서 $4x_2/y_2$의 값이 $x_1/y_1$의 값과 비슷함을 알 수 있다.

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이제 $x_2,\, y_2$를 각각 $x_1,\, y_1$로 두고 위 과정을 반복하면, 새로운 두 양의 유리수 $x_3,\, y_3$을 얻는다. 그러면

\[ x_1^3 + y_1^3 = x_2^3 + y_2^3 = x_3^3 + y_3^3 \]

을 만족하고 $4^2x_3/y_3$의 값은 $x_1/y_1$의 값과 비슷하다. 따라서 이와 같은 방법을 $n-1$번 반복하면, $n$개의 양의 유리수 쌍 $(x_i,\, y_i)$를 얻고 이 수들은

\[ x_1^3 + y_1^3 = x_2^3 + y_2^3 = x_3^3 + y_3^3 = \cdots = x_n^3 + y_n^3 \tag*{$(\ast)$} \]

을 만족한다. 나아가

\[ \frac{x_1}{y_1},\, \frac{4x_2}{y_2},\, \frac{4^2x_3}{y_3},\, \ldots,\, \frac{4^{n-1}x_n}{y_n} \]

의 값이 모두 비슷하므로, 각각의 $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $x_i/y_i$의 값은 모두 다른 수임을 알 수 있다. 마지막으로 모든 $x_1,\, y_1,\, \ldots,\, x_n,\,y_n$의 최소공배수 $L$을 식 $(\ast)$에 곱해 주면 정수해를 얻는다..

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따라서 위 정리에 의해서 두개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $n$가지인 수가 언제나 존재하므로, 이를 만족하는 가장 작은 수를 생각해 볼 수 있고 이 수가 $n$번째 택시캡수 $\operatorname{Ta}(n)$이 되는 것이다. 2018년 현재까지 알려진 택시캡수의 목록은 다음과 같다.

\[ \begin{align*} \operatorname{Taxicab}(1) = 2 &= 1^{3} + 1^{3} \\[15px] \operatorname{Taxicab}(2) = 1729 &= 1^{3} + 12^{3} \\[5px] &= 9^{3} + 10^{3} \\[15px] \operatorname{Taxicab}(3) = 87539319 &= 167^{3} + 436^{3} \\[5px] &= 228^{3} + 423^{3} \\[5px] &= 255^{3} + 414^{3} \\[15px] \operatorname{Taxicab}(4) = 6963472309248 &= 2421^{3} + 19083^{3} \\[5px] &= 5436^{3} + 18948^{3} \\[5px] &= 10200^{3} + 18072^{3} \\[5px] &= 13322^{3} + 16630^{3} \\[15px] \operatorname{Taxicab}(5) = 48988659276962496 &= 38787^{3} + 365757^{3} \\[5px] &= 107839^{3} + 362753^{3} \\[5px] &= 205292^{3} + 342952^{3} \\[5px] &= 221424^{3} + 336588^{3} \\[5px] &= 231518^{3} + 331954^{3} \\[15px] \operatorname{Taxicab}(6) = 24153319581254312065344 &= 582162^{3}+28906206^{3} \\[5px] &= 3064173^{3} + 28894803^{3} \\[5px] &= 8519281^{3} + 28657487^{3} \\[5px] &= 16218068^{3} + 27093208^{3} \\[5px] &= 17492496^{3} + 26590452^{3} \\[5px] &= 18289922^{3} + 26224366^{3} \end{align*} \]

위 목록은 OEIS에서 수열 번호 A011541를 검색하면 확인할 수 있다. 2018년 현재까지 $n \geq 7$인 경우의 정확한 택시캡수는 알려져 있지 않으며, $7 \leq n \leq 12$에 대해서는 택시캡수의 상계(upper bound)만이 알려져 있다.

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캡택시수(cabtaxi number)

택시캡수에서 '양의' 세제곱수라는 조건을 완화하면, 캡택시수(cabtaxi number) $\operatorname{Cabtaxi}(n)$를 얻는다. 즉, $n$번째 $n$번째 캡택시수(cabtaxi number)는 두개의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 $n$가지인 수들 중 가장 작은 양의 정수로 정의된다. 임의의 $n$에 대하여 택시캡수가 언제나 존재하므로 캡택시수 또한 언제나 존재한다. 또한 택시캡수보다 캡택시수의 조건이 더 완화되었으므로 같은 $n$에 대해서 $\operatorname{Taxicab}(n)$ 보다는 $\operatorname{Cabtaxi}(n)$의 값이 훨씬 작다. 2018년 현재까지 알려진 캡택시수의 목록은 다음과 같다.

\[ \begin{align*} \operatorname{Cabtaxi}(1) = 1 &= 1^{3} + 0^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(2) = 91 &= 3^{3} + 4^{3} \\[5px] &= 6^{3} - 5^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(3) = 728 &= 6^{3} + 8^{3} \\[5px] &= 9^{3} - 1^{3} \\[5px] &= 12^{3} - 10^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(4) = 2741256 &= 108^{3} + 114^{3} \\[5px] &= 140^{3} - 14^{3} \\[5px] &= 168^{3} - 126^{3} \\[5px] &= 207^{3} - 183^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(5) = 6017193 &= 166^{3} + 113^{3} \\[5px] &= 180^{3} + 57^{3} \\[5px] &= 185^{3} - 68^{3} \\[5px] &= 209^{3} - 146^{3} \\[5px] &= 246^{3} - 207^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(6) = 1412774811 &= 963^{3} + 804^{3} \\[5px] &= 1134^{3} - 357^{3} \\[5px] &= 1155^{3} - 504^{3} \\[5px] &= 1246^{3} - 805^{3} \\[5px] &= 2115^{3} - 2004^{3} \\[5px] &= 4746^{3} - 4725^{3} \\[15px] \operatorname{Cabtaxi}(7) = 11302198488 \\[5px] \operatorname{Cabtaxi}(8) = 137513849003496 \\[5px] \operatorname{Cabtaxi}(9) = 424910390480793000 \\[5px] \operatorname{Cabtaxi}(10) = 933528127886302221000 \end{align*} \]

위 목록은 OEIS에서 수열 번호 A047696을 검색하면 확인할 수 있다. 2018년 현재까지 $n \geq 11$인 경우의 정확한 캡택시수는 알려져 있지 않으며, $11 \leq n \leq 22$에 대해서는 캡택시수의 상계(upper bound)만이 알려져 있다.