중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다. 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리는 이 절대부등식은 다음과 같다. 모든 양수 \(a,b\)에 대하여,
\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \]
이 부등식은 단순히 두 양수 \(a,b\)가 아닌, 임의의 \(n\)개의 양수 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\)에 대해서도 성립한다는 사실을 알 수 있다.
\[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \]
잠깐 주제를 돌려보자. 우리는 통계에서 표준편차를 편차들의 제곱의 평균을 구한 후 나온 값의 제곱근으로 정의한다. 왜 이와 같이 복잡한 방법으로 표준편차를 구하는지는 우선 논외로 하고, 표준편차를 구할 때 아래와 같은 형태의 이차평균(quadratic mean)을 사용한다는 사실을 알 수 있다.
\[\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}}\]
이와 같이 우리는 필요에 의해 다양하게 평균을 정의하여 사용한다. 그렇다면 이 모든 평균을 아우를 수 있는 일반화된 평균은 없을까? 멱평균(power mean) 또는 횔더 평균(Hölder mean)이 그 답이 될 수 있다. 멱평균은 다음과 같이 정의한다. 임의의 \(n\)개의 양수 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\)와 \(0\)이 아닌 임의의 실수 \(p\)에 대하여,
\[ M_{p}(a_{1},a_{2}, \cdots, a_{n})=\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}\]
위 식에서 \(n=1, n=-1, n=2\)일 때, 각각 산술평균, 조화평균, 그리고 이차평균을 얻을 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 그렇다면 멱평균으로부터 기하평균까지 유도할 수 있을까? 멱평균 \(M_{p}\)는 \(p=0\)에서는 정의되지 않지만, 로그함수를 씌운 후에 \(p\)가 \(0\)으로 수렴할 때의 극한을 생각해 보면,
\[ \begin{align*} \lim_{p \rightarrow 0}\ln{M_{p}} & = \lim_{p \rightarrow 0} \frac{\ln\left\lbrace\frac{1}{n}\left( a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots+a_{n}^{p} \right) \right\rbrace}{p} \\[5pt] & = \lim_{p \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{n} \left( a_{1}^{p}\ln{a_{1}}+a_{2}^{p}\ln{a_{2}}+\cdots+a_{n}^{p}\ln{a_{n}} \right) }{\frac{1}{n} \left( a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots+a_{n}^{p} \right)} \\[5pt] & = \lim_{p \rightarrow 0} \frac{ a_{1}^{p}\ln{a_{1}}+a_{2}^{p}\ln{a_{2}}+\cdots+a_{n}^{p}\ln{a_{n}}}{ a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots+a_{n}^{p}} \\[5pt] & = \frac{\ln{a_{1}}+\ln{a_{2}}+\cdots+\ln{a_{n}}}{n} \\[5pt] & = {\ln\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)}^{\frac{1}{n}} \end{align*} \]
위의 극한값의 계산중 두번재 등호에서 로피탈의 정리(L'Hospital's rule)를 사용하였다. 위 극한값의 계산으로부터 \(\lim_{p \rightarrow 0}M_{p} = \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\) 임을 알 수 있고, 따라서 자연스럽게 \(M_{0} = \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\)라 정의할 수 있다.
이제 \(p\)가 \(\infty\) 또는 \(-\infty\)로 발산할 때의 극한에 대하여 생각해 보자. 우선 일반성을 잃지 않고 \(a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n}\)이라 가정하자. 그러면,
\[ \begin{align*} \lim_{p \rightarrow \infty}M_{p} & = \lim_{p \rightarrow \infty} \left( a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots+a_{n}^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \\[5pt] & = a_{1} \lim_{p \rightarrow \infty} \left\lbrace \left(\frac{a_{1}}{a_{1}}\right)^{p}+\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{p}+\cdots+\left(\frac{a_{n}}{a_{1}}\right)^{p} \right\rbrace^{\frac{1}{p}} \\[5pt] & = a_{1} \\[5pt] & = \max\left\lbrace a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\rbrace \end{align*} \]
이고 임의의 \(p \neq 0\) 에 대하여, \(M_{p}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})=\left(M_{-p}(\frac{1}{a_{1}},\frac{1}{a_{2}},\cdots,\frac{1}{a_{n}})\right)^{-1}\)임을 이용하면, \(M_{-\infty} = \min\left\lbrace a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\rbrace \)임을 보일 수 있다.
여기까지 알아본 내용을 정리하면,
\[ \begin{array}{llll} M_{-\infty}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \min\left\lbrace a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\rbrace & \qquad\text{(minimum)} \\[5pt] M_{-1}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} & \qquad\text{(arithmetic mean)} \\[5pt] M_{0}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \sqrt{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}} & \qquad\text{(geometric mean)} \\[5pt] M_{1}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} & \qquad\text{(arithmetic mean)} \\[5pt] M_{2}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}} & \qquad\text{(quadratic mean)} \\[5pt] M_{\infty}(a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}) & = & \max\left\lbrace a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\rbrace & \qquad\text{(maximum)} \\[5pt] \end{array}\]
다음 포스트에서는 멱평균(power mean)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 정리해 볼 것이다.