평균(mean)에 대하여 - 3. 더욱 일반화된 평균

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우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱 일반화한 평균들에 대하여 알아보도록 하자.

 

우선 멱평균에 가중치(weight)를 부여한 가중치 멱평균(weighted power mean)에 대해 생각해 볼 수 있다. 양수 \(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\)이 \(\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)의 가중치 멱평균은 다음과 같이 정의된다.

\[M_{p}(a_{1},\cdots,a_{n};p_{1},\cdots,p_{n}) := \left(\sum_{i=1}^{n}p_{i}{a_{i}^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} \]

일반적인 멱평균은 모든 \(i\)에 대하여 \(p_{i}=\frac{1}{n}\)인 특별한 경우이다.

 

가중치 멱평균의 경우에도 젠센부등식을 이용하면 부등식을 얻을 수 있다. \(0\)이 아닌 두 실수 \(p<q\)에 대하여,

\[\left(\sum_{i=1}^{n}{p_{i}a_{i}^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i=1}^{n}{p_{i}a_{i}^{q}}\right)^{\frac{1}{q}}\]

 

자 이제 이를 좀 더 일반화 시켜보자. 먼저 \(f:I \rightarrow \mathrm{R}^{n}\)가 구간 \(I\) 에서 연속(continuous)이고 단사(injective)인 함수라 하자. 그러면  아래와 같이 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)의 \(f\)-평균(\(f\)-mean) (또는 quasi-arithmetic mean)을 정의한다.

\[M_{f}(a_{1},\cdots,a_{n}) := f^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n}f(a_{i})\right) \]

구간 \(I=(0,\infty)\)라 하면, 다음이 성립한다.

  • \(f(x)=x\)이면, \(f\)-평균은 산술평균과 같다.
  • \(f(x)=\ln x\)이면, \(f\)-평균은 기하평균과 같다.
  • \(f(x)=\frac{1}{x}\)이면, \(f\)-평균은 조화평균과 같다.
  • \(f(x)=x^{2}\)이면, \(f\)-평균은 이차평균과 같다.
  • \(f(x)=x^{p}\)이면, \(f\)-평균은 멱평균과 같다.

 

이제 아래와 같이 \(f\)-평균과 \(g\)-평균 사이의 부등식을 생각해 보자.

\[f^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n}f(a_{i})\right) \leq g^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n}g(a_{i})\right)\]

\(f\)와 \(g\)가 어떤 조건을 만족할 때 위의 부등식이 성립할까?

 

먼저 볼록함수(convex function)의 정의부터 다시 살펴보자. \(f:[a,b]\rightarrow \mathrm{R}\)에 대하여, 다음 세 명제는 모두 동치이다.

  • \(f\)는 구간 \([a,b]\)에서 볼록함수(convex function)이다.
  • \(0<t<1\)인 모든 \(t\)에 대하여, \(f(tb+(1-t)a) \leq t f(b)_(1-t)f(a)\)를 만족한다.
  • \(a<x<b\)인 모든 \(x\)에 대하여, \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ \leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}\)를 만족한다.

위 동치 명제는 \(x=tb+(1-t)a\)로 놓고 정리하면 간단하게 증명이 된다. 이제 볼록함수에 대한 두번째 정의를 확장하여 다음을 정의하자. \(f\)는 구간 \([a,b]\)에서 정의된 두 함수 \(f,g\)가 \(a<x<b\)인 모든 \(x\)에 대하여 다음 관계를 만족할 때, \(g\)는 \(f\)-볼록함수(\(f\)-convex function)라 한다.

\[\frac{g(x)-g(a)}{f(x)-f(a)}\ \leq \frac{g(b)-g(x)}{f(b)-f(x)}\]

또한 반대의 부등식을 만족하면, \(g\)는 \(f\)-오목함수(\(f\)-concave function)라 한다.

만약 함수 \(g\)가 증가함수이고 \(f\)-볼록함수이거나, \(g\)가 감소함수이고 \(f\)-오목함수이면 다음의 부등식이 성립함이 알려져 있다.

\[f^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n}f(a_{i})\right) \leq g^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n}g(a_{i})\right)\]

이제 위 부등식을 이용하여 산술-기하평균 부등식을 증명해보자. \(f(x)=\ln{x}\)이고 \(g(x)=x\)라 하면, \(0<a<x<b\)에 대하여,

\[ \begin{align*} \frac{x-a}{\ln{x}-\ln{a}}\ \leq \frac{b-x}{\ln{b}-\ln{x}} & \Longleftrightarrow \frac{x-a}{\ln{\frac{x}{a}}}\ \leq \frac{b-x}{\ln{\frac{b}{x}}} \\[5pt] & \Longleftrightarrow \ln\left(\frac{a}{x}\right)^{a-x} \leq \ln\left(\frac{x}{b}\right)^{x-b} \\[5pt] & \Longleftrightarrow \left(\frac{a}{x}\right)^{a-x} \leq \left(\frac{x}{b}\right)^{x-b} \\[5pt] & \Longleftrightarrow a^{a-x}x^{b-a}b^{x-b} \leq 1 \end{align*} \]

는 모두 동치이다. 여기서 마지막 부등식은 \(a^{a-x}x^{b-a}b^{x-b} \leq b^{a-x}b^{b-a}b^{x-b} = b^{a-x+b-a+x-b} =1\)로 참이므로, \(g\)는 증가함수이고 \(f\)-볼록함수이다. 따라서 산술-기하평균 부등식이 성립함을 다시 한번 확인할 수 있다. 기하-조화평균 부등식이나 산술-주화평균 부등식, 멱평균 부등식등도 비슷한 방법으로 확인해 볼 수 있다.