실벡터공간_{(real vector space)}이란, 주어진 공간의 (벡터_(vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼 자유롭게 늘이거나 줄이는 것이 가능한 공간이다. 이 벡터 공간에 대한 재미있는 예가 있어서¹ 이번에 소개해 보려고 한다.

먼저 실벡터공간에 대한 수학적인 정의에 대해서 살펴보자.

고등학교 범위에서 생각해 볼 만한 간단한 실벡터공간의 예는 아래와 같은 것들이 있다.

1. 3차원 벡터 공간 $\mathbb{R}^3$: 3차원 벡터 $\vec{u} = (u_1,\, u_2,\, u_3)$ 와 $\vec{v} = (v_1,\, v_2,\, v_3)$에 대하여 \[ \vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,\, u_2+v_2,\, u_3+v_3), \qquad \lambda\vec{u} = (\lambda u_1,\, \lambda u_2,\, \lambda u_3). \] 으로 연산을 정의하면 $(\mathbb{R}^3,\, +,\, \cdot)$는 실벡터공간이 된다. 사실 실벡터공간이 $(\mathbb{R}^3,\, +,\, \cdot)$에서 성립하는 여러가지 성질들을 공리화하여 정의된 것 이므로, 실벡터공간을 실'벡터'공간이라 하는 이유도 여기에 있다.
2. 모든 $2 \times 2$ 실행렬 (real matrix)들의 집합 $M_2$: 두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$와 $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$에 대하여, 두연산을 아래와 같이 정의하자. \[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix}, \qquad \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}. \] 그러면 $(M_2,\, +,\, \cdot)$는 실벡터공간의 모든 공리를 만족한다.
3. 모든 실함수_{(real-valued function)}들의 집합 $F$. 두 함수 $f(t)$ 와 $g(t)$에 대하여, \[ (f+g)(t) = f(t) + g(t), \qquad (\lambda f)(t) = \lambda f(t) \] 와 같이 연산을 정의하면, $(F,\, +,\, \cdot)$는 실벡터공간이 된다.

위와 같이 이미 우리가 알고 있는 많은 수학적 대상들이 사실은 실벡터공간을 이루고 있음을 알 수 있다. 하지만, 이번에는 이미 주어진 실벡터공간 $(V,\, +,\, \cdot)$에 대하여 두 연산 $\oplus$와 $\odot$를 새롭게 정의하여, 이렇게 새롭에 정의된 $(V,\, \oplus,\, \odot)$또한 실벡터공간이 됨을 보이려고 한다.

먼저 두 연산을 아래와 같이 정의하자: 임의의 $x,\, y \in V$와 $\lambda \in \mathbb{R}$에 대하여,

이제 $(V,\, \oplus,\, \odot)$이 실벡터공간임을 증명하기 위해서 이 두개의 연산들이 8개의 공리를 만족하는지를 보여야 한다. 지금부터 하나씩 확인해 보도록 하자.

1. 모든 $x,\,y,\,z \in V$에 대하여, $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$.

   증명. 모든 $x,\,y,\,z \in V$에 대하여, \[ \begin{aligned} (x \oplus y) \oplus z &= (x+y+2) \oplus z \\[5px] &= (x+y+2)+z+2 \\[5pt] &= x+y+z+4, \\[5pt] x \oplus (y \oplus z) &= x \oplus (y+z+2) \\[5pt] &= x + (y+z+2) +2 \\[5pt] &= x+y+z+4. \end{aligned} \]

2. 모든 $x,\,y \in V$에 대하여, $x \oplus y = y \oplus x$.

   증명. 모든 $x,\,y \in V$에 대하여, \[ x \oplus y = x+y+2 = y+x+2 = y \oplus x. \]

3. 임의의 $x \in V$에 대하여 $x \oplus e = e \oplus x = x$를 만족하는 원소 $e \in V$가 존재한다.

   증명. 우리는 다음의 식 \[ x \oplus e = e \oplus x = x+e+2 = x. \] 를 만족하는 $e \in V$를 찾아야 한다. 하지만 위 식으로부터 $e = -2$임을 간단히 알 수 있다.

4. 임의의 $x \in V$에 대하여 $-x \in V$가 존재하여, $x \oplus (-x) = (-x) \oplus x = e$를 만족한다.

   증명. 임의의 $x \in V$에 대하여, 아래의 식 \[ x \oplus x' = x' \oplus x = x + x'+2 = -2 = e \] 를 만족하는 $x' \in V$를 찾아야 한다. 따라서 $x' = -x-4$임을 알 수 있다.

5. 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in V$에 대하여, $\lambda \odot (\mu \odot x) = (\lambda\mu) \odot x$.

   증명. 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in V$에 대하여, \[ \begin{aligned} \lambda \odot (\mu \odot x) &= \lambda \odot (\mu x + 2\mu -2) \\[5pt] &= \lambda(\mu x+2\mu-2) + 2\lambda -2 \\[5pt] &= \lambda\mu x + 2\lambda\mu -2, \\[5pt] (\lambda\mu) \odot x &= \lambda\mu x + 2\lambda\mu - 2. \\[5pt] \end{aligned} \]

6. 모든 $x \in V$에 대하여, $1 \odot x = x$.

   증명. 모든 $x \in V$에 대하여, \[ 1 \odot x = x = 1x + (2)(1) - 2 = x. \]

7. 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,\,y \in V$에 대하여, $\lambda \odot (x \oplus y) = (\lambda \odot x) \oplus (\lambda \odot y)$.

   증명. 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,\,y \in V$에 대하여, \[ \begin{aligned} \lambda \odot (x \oplus y) &= \lambda \odot (x+y+2) \\[5pt] &= \lambda(x+y+2) + 2\lambda -2 \\[5pt] &= \lambda x + \lambda y +4\lambda -2, \\[5pt] (\lambda \odot x) \oplus (\lambda \odot y) &= (\lambda x + 2\lambda -2) \oplus (\lambda y + 2\lambda -2) \\[5pt] &= (\lambda x+2\lambda-2) + (\lambda y + 2\lambda -2) +2 \\[5pt] &= \lambda x + \lambda y + 4\lambda -2. \end{aligned} \]

8. 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in V$에 대하여, $(\lambda + \mu) \odot x = (\lambda \odot x) \oplus (\mu \odot x)$.

   증명. 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in V$에 대하여, \[ \begin{aligned} (\lambda + \mu) \odot x &= (\lambda+\mu)x + 2(\lambda + \mu) - 2 \\[5pt] &= \lambda x + \lambda x + 2\lambda + 2\mu - 2, \\[5pt] (\lambda \odot x) \oplus (\mu \odot x) &= (\lambda x + 2\lambda - 2) \oplus (\mu x + 2\mu -2) \\[5pt] &= (\lambda x + 2\lambda - 2) + (\mu x + 2\mu -2) + 2 \\[5pt] &= \lambda x + \mu x + 2\lambda + 2\mu -2. \end{aligned} \]

따라서 $(V,\, \oplus,\, \odot)$는 실벡터공간이 되기 위한 모든 공리를 만족하므로, 실벡터공간임을 알 수 있다..

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