예전에 "이항계수(binomial coefficient)들의 산술평균과 기하평균"이라는 주제로 글을 올린 적이 있다. 이번에는 이 주제를 좀 더 확장하여 이항계수들의 조화평균(harmonic mean) $H_n$과 이차평균(quadratic mean) $Q_n$에 대해서 생각해 보자. 여기서 $H_n$과 $Q_n$은 다음과 같이 정의되는 값이다.
\[ H_n = \frac{n+1}{\sum_{k=0}^{n} \tfrac{1}{\binom{n}{k}}}, \qquad Q_n = \sqrt{\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2} \]
이번에도 $\sqrt[n]{H_n}$과 $\sqrt[n]{Q_n}$의 극한값을 각각 계산해 보도록 하자.
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$\sqrt[n]{H_n}$의 극한값
우선 $H_n$에 대하여 다음의 간단한 부등식을 증명하자.
\[ \begin{align*}
H_n &= \frac{n+1}{\sum_{k=0}^{n} \tfrac{1}{\binom{n}{k}}} \geq \frac{n+1}{\sum_{k=0}^{n} 1} = 1 \\[5px]
H_n &= \frac{n+1}{\sum_{k=0}^{n} \tfrac{1}{\binom{n}{k}}} = \frac{n+1}{2 + \sum_{k=1}^{n-1} \tfrac{1}{\binom{n}{k}}} \leq \frac{n+1}{2}
\end{align*} \]
따라서 $1 \leq H_n \leq \frac{n+1}{2}$가 성립함을 알 수 있다. 한 편, 로피탈의 정리(L'Hospital's theorem)를 이용하면,
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{2} \right)^{\frac{1}{n}} = \operatorname{exp}\left( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1) - \ln(2)}{n} \right) \stackrel{\text{L'H}}{=} \operatorname{exp}\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \right) = e^0 = 1 \]
이 성립한다. 따라서 조임정리(squeeze theorem)에 의해서
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{H_n} = 1 \]
을 얻는다.$ $
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$\sqrt[n]{Q_n}$의 극한값
$\sqrt[n]{Q_n}$의 극한값 또한 $\sqrt[n]{H_n}$의 극한값을 구했던 것과 같은 방법으로 구할 수 있다. 우선 $Q_n^2$을 이항계수에 대한 방데르몽드 항등식(Vandermonde's identity)을 이용하여 정리하면,
\[ Q_n^2 = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \]
를 얻는다. 한 편, $4^n = (1 + 1)^{2n} \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}$이므로
\[ \frac{4^n}{2n+1} \leq \binom{2n}{n} \leq 4^n \tag*{$\color{myblue}{(2.1)}$} \]
이 성립한다. 이는, $k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, 2n$에 대하여, 부등식 $\color{myblue}{(2.1)}$의 좌변은 $\binom{2n}{k}$들의 평균, 중앙변은 $\binom{2n}{k}$들 중 최댓값, 그리고 우변은 $\binom{2n}{k}$들의 합을 각각 나타내기 때문이다. 따라서 부등식 $\color{myblue}{(2.1)}$을 $n+1$로 나누어 주면,
\[ \frac{4^n}{(n+1)(2n+1)} \leq Q_n^2 \leq \frac{4^n}{n+1} \tag*{$\color{myblue}{(2.2)}$} \]
임을 알 수 있다. 이제 부등식 $\color{myblue}{(2.2)}$에 $2n$ 제곱근을 취하고 $(n+1)^{\frac{1}{2n}}$와 $(2n+1)^{\frac{1}{2n}}$의 극한이 각각 $1$이라는 사실을 이용하여 양변의 극한을 각각 계산해 보면,
\[ \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4^n}{(n+1)(2n+1)} \right)^{\frac{1}{2n}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(n+1)^{\frac{1}{2n}} (2n+1)^{\frac{1}{2n}}} = 2 \\[5px]
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4^n}{n+1} \right)^{\frac{1}{2n}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(n+1)^{\frac{1}{2n}}} = 2
\end{align*} \]
를 얻는다. 따라서 조임정리(squeeze theorem)에 의해서
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{Q_n} = 2 \]
를 얻는다.$ $
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참고. 일반적으로 산술평균, 기하평균, 조화평균, 이차평균을 각각 $A$, $G$, $H$, $Q$로 나타낼 때, 부등식 $Q \geq A \geq G \geq H$가 언제나 성립한다. 이전 글과 이번 글을 모두 종합하면 $\sqrt[n]{A_n} = 2$, $\sqrt[n]{G_n} = \sqrt{e}$, $\sqrt[n]{H_n} = 1$, $\sqrt[n]{Q_n} = 2$이므로
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{Q_n} \geq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A_n} \geq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{G_n} \geq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{H_n} \]
이 성립함을 확인할 수 있다.$ $