식 $(x+y)^n$을 전개하여 각 항의 계수를 적으면 아래와 같이 이항계수(binomial coefficient)가 나타난다.
\[ \binom{n}{0},\; \binom{n}{1},\; \cdots,\; \binom{n}{n}. \]
이제 위 이항계수들의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 $A_n$, $G_n$이라 하자. 다시 말해 $A_n$과 $G_n$은 아래와 같이 정의되는 수이다.
\[ A_n := \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}, \quad G_n := \sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}}. \]
이번 글에서 계산해볼 것은 $\sqrt[n]{A_n}$과 $\sqrt[n]{G_n}$의 극한값이다.
$\sqrt[n]{A_n}$의 극한값
먼저 $\sqrt[n]{A_n}$의 극한값부터 계산해 보자.
우선 $(n+1)A_n$의 값은 이항계수의 성질에 의해 아래와 같이 간단히 정리할 수 있다.
\[ (n+1)A_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n. \tag{1.1} \]
따라서 식 $(1.1)$의 양변을 $n+1$로 나누고 $n$ 제곱근을 취한 뒤 극한을 구해주면,
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{n+1}} = 2 \]
를 간단히 얻을 수 있다..
$\sqrt[n]{G_n}$의 극한값
이제 $\sqrt[n]{G_n}$의 극한값을 구하기 위하여 먼저 $G_n^{n+1}$의 값을 간단히 해보자.
\[ G_n^{n+1} = \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \prod_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! (n-k)!} = \frac{(n!)^{n+1}}{\prod_{k=0}^{n} (k!)^2}. \]
이제 위 등식의 마지막 항을 잘 살펴보자. 이 항에서 $n$은 (분자에 $(n+1)$번, 분모에 $2$번으로) 총 $(n+1-2)$번이 나타난다. 또한 $n-1$은 (분자에 $(n+1)$번, 분모에 $4$번으로) 총 $(n+1-4)$번이 나타난다. 이를 일반화하면 $(n+1-k)$는 총 $(n+1-2k)$번이 나타남을 알 수 있다. 그러므로
\[ G_n^{n+1} = \prod_{k=1}^{n} (n+1-k)^{n+1-2k} \tag*{$\color{myblue}{(2.1)}$} \]
를 얻는다. 이제
\[ \prod_{k=1}^{n} (n+1)^{n+1-2k} = (n+1)^{\sum_{k=1}^{n}(n+1-2k)} = (n+1)^{0} = 1 \]
이라는 사실을 이용하여, 식 $\color{myblue}{(2.1)}$을 $\prod_{k=1}^{n} (n+1)^{n+1-2k}$으로 나누어 주면,
\[ G_n^{n+1} = \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{n+1-k}{n+1} \right)^{n+1-2k} = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 - \frac{k}{n+1} \right)^{n+1-2k} \]
를 얻는다.이제 위 식에 다시 $n+1$제곱근을 취하면
\[ G_n = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 - \frac{k}{n+1} \right)^{1-\frac{2k}{n+1}} \tag*{$\color{myblue}{(2.2)}$} \]
이 됨을 알 수 있다. 이제 $\sqrt[n]{G_n}$의 극한을 구하기 위하여, $\sqrt[n]{G_n}$에 자연로그를 취한 값인 $\frac{1}{n} \ln G_n$의 극한값을 구해보자. 식 $\color{myblue}{(2.2)}$를 이용하면,
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln G_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( 1 - \frac{2k}{n+1} \right) \ln \left( 1 - \frac{k}{n+1} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \left[ \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^{n} \left( 1 - \frac{2k}{n+1} \right) \ln \left( 1 - \frac{k}{n+1} \right) \right] \\ &= \int_{0}^{1} (1-2x) \ln(1-x) \,dx \\ &= \frac{1}{2}. \end{align*}
위 식에서 세번째 등호는 리만합(Rimann sum)의 정의를 이용하였다. 결과적으로 $\sqrt[n]{G_n}$의 극한값으로
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{G_n} = e^{1/2} = \sqrt{e} \]
를 얻는다..