닫힌 유계 집합이지만 옹골집합이 아닌 집합

      Comments Off on 닫힌 유계 집합이지만 옹골집합이 아닌 집합

$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다.

 

정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)

$X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다.

  1. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서 동시에 유계(bounded)인 집합이다.
  2. $S$는 옹골집합(compact set)이다.

 

일반적으로 임의의 노름공간 $(X,\, \norm{\cdot})$에서 집합 $S$가 옹골집합이면, 언제나 $S$는 닫힌 유계집합이다. 이는 옹골집합의 정의를 통해 간단히 보일 수 있다. 하이네-보렐 정리는 위 $X$가 유한차원이면, 위 사실의 역 또한 성립함을 보여준다.

 

특히 하이네-보렐 정리에 의해, $X$가 유한차원이면 아래와 같이 정의 된 닫힌 단위구(closed unit ball)은 언제나 옹골집합이다.

\[ B_1[0] = \set{x \in X}{\norm{x} \leq 1} \]

만약 $X$가 무한 차원이라면 어떻게 될까? 여전히 위 정리가 성립할까?

 

 

닫힌 유계 집합이지만 옹골집합이 아닌 집합

예제. $X = C_{\R}[0,\,1]$가 폐구간 $[0,\,1]$ 위에서 연속인 모든 함수들의 집합이라 하자. 이 때, $C_{\R}[0,\,1]$ 위의 노름은

\[ \norm{f} = \sup_{x \in [0,\,1]} \abs{f(x)} \]

로 정의한다. 이제 $C_{\R}[0,\,1]$의 닫힌 단위구 $B_1[0]$이 옹골집합이 아님을 보이자.

 

 

증명 1. 먼저 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 함수 $f_n$가 조각적 선형 함수(piecewise linear function)로 다음와 같이 정의되어 있다고 하자.

\[ \begin{cases} f_n(0)=f_n(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+2}})=0 \\[5px] f_n(\frac{1}{2^n})=1 \\[5px] f_n(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+2}})=f_n(1)=0 \end{cases} \]

그러면 $\norm{f_n} = 1$이므로 모든 $n \in \N$에 대하여 $f_n \in B_1[0]$이 성립한다.

 

한 편, $m > n \geq 1$을 만족하는 두 $m,\, n \in \N$에 대하여 부등식 $5 < 3 \cdot 2^{m-n}$을 적절히 변형하여 다음의 부등식을 얻을 수 있다.

\[ \frac{1}{2^m} + \frac{1}{2^{m+2}} < \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{m-2}} \]

위 부등식에 의해 두 집합 $\set{x \in [0,\,1]}{f_m>0}$과 $\set{x \in [0,\,1]}{f_n>0}$는 서로소임을 알 수 있다. 따라서 $\norm{f_m - f_n} = 1$이 성립한다.

 

이제 다음과 같이 $C_{\R}[0,\,1]$의 열린 덮개(open cover)를 정의하자.

\[ \mathcal{U} = \set{B_{1/2}(f)}{f \in B_1[0]} \]

그러면 임의의 $f \in B_1[0]$와 $u,\, v \in B_{1/2}(x)$에 대하여, $\norm{u - v} < 1$을 얻는다. 그러므로 각각의 $B_{1/2}(f)$는 많아야 하나의 $f_n$만을 포함한다. 즉, $\mathcal{U}$의 유한개의 열린 덮개로는 많아야 유한개의 $f_n$ 밖에 포함할 수 없고, 따라서 $B_1[0]$을 덮는 $\mathcal{U}$의 유한 열린 덮개는 존재하지 않는다. 즉, $B_1[0]$는 옹골집합이 아니다..

 

 

증명 2. $C_{\R}[0,\,1]$는 노름 공간이므로 거리 공간이고 $C_{\R}[0,\,1]$에서의 옹골성(compactness)은 점멸 옹골성(sequential compactness)과 동치이다. 따라서 닫힌 단위구 $B_1[0]$이 점멸옹골집합이 아님을 보이면 충분하다. 이를 위해 다음과 같이 함수열 $(g_n)$을 $g_n(x) = x^n$으로 정의하자. 그러면 모든 $n \in \N$에 대하여 $\norm{g_n} = 1$이므로 함수열 $(g_n)$은 $B_1[0]$에서 정의된 수열이다. 만약 이 함수열이 수렴하는 부분수열을 갖는다면, 그 극한 $g$는 $g([0,\,1)) = \{0\}$ 이므로 $g(1) = 1$이여야만 한다. 하지만 $g$는 연속 함수가 아니므로 $g \notin C_{\R}[0,\,1]$이다. 따라서 $(g_n)$은 수렴하는 부분수열은 갖지 않고 점멸 옹골집합이 아니다..

 

 

리즈의 보조정리(Riesz's lemma)

사실 $X = C_{\R}[0,\,1]$만 위와 같은 반례를 갖는 특별한 공간은 아니다. 리즈의 보조정리(Riesz's lemma)를 이용하면 임의의 무한차원 노름공간 $(X,\, \norm{\cdot})$의 닫힌 단위구 $B_1[0]$은 절대 옹골집합이 될 수 없다. 먼저 리즈의 보조정리에 대하여 알아보자.

 

정리. 리즈의 보조정리(Riesz's lemma)

$(X,\, \norm{\cdot})$가 임의의 노름공간이라 하자. 그러면 $X$의 임의의 닫힌 진부분공간 $Y$와 실수 $0< \alpha < 1$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 $x \in X$가 언제나 존재한다.

  1. $\norm{x} = 1$.
  2. 모든 $y \in Y$에 대하여, $\norm{x - y} \geq \alpha$.

 

 

증명. 이제 $(X,\, \norm{\cdot})$가 무한차원 노름공간이라 하자. 먼저 단위구면(unit sphere)

\[ S_1(0) = \set{x \in X}{\norm{x} = 1} \]

에서 원소 $x_1$을 택하자. 그 다음 $Y_1 = \operatorname{span}\{x_1\}$로 정의한다. 그러면 $Y_1$은 $X$의 닫힌 진부분공간임을 알 수 있다. 따라서 리즈의 보조정리에 의해 $x_2 \in S_1(0)$이 존재하여 임의의 $y \in Y_1$에 대하여 $\norm{x_1 - y} \geq \frac{1}{2}$를 만족한다. 그러므로 자명하게 $x_2 \notin Y_1$임을 알 수 있다. 이와 같은 과정을 반복하여 수열 $(x_n) \in S_1(0) \subset B_1[0]$을 다음과 같이 정의하자: $x_n \in S_1(0)$은 다음을 만족한다.

\[ \norm{x_n - y} \geq \frac{1}{2} \quad \forall\, y \in Y_{n-1} = \operatorname{span}\{x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_{n-1}\} \]

위는 임의의 $n \in \N$에 대하여 $\norm{x_n - x_{n-1}} \geq \frac{1}{2}$임을 뜻하고 따라서 이 수열은 수렴하는 부분수열을 갖지 못한다. 따라서 $B_1[0]$은 점멸옹골집합이 아니고 옹골집합도 아니다..

 

 

따라서 하이네-보렐 정리와 위 사실을 종합하면 다음의 사실을 얻을 수 있다.

 

따름정리.

$(X,\, \norm{\cdot})$가 임의의 노름공간이라 하자.

  1. 만약 닫힌 단위구가 옹골집합이면, $X$는 유한차원이다.
  2. 만약 닫힌 단위구가 옹골집합이 아니면, $X$는 무한차원이다.