Juyoung JeongComments Off on 궁극의 이항연산(Ultimate binary operation)
$\newcommand{\ultimate}{\, \rlap{\rlap{\times}{\div}}{+} \,}$초등학교 시절부터 배워온 사칙연산이란 산수의 기본이 되는 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division)의 네 가지 연산을 일컫는다. 이 네 가지 연산은 각각 $+$, $-$, $\times$, $\div$로 나타낼 수 있다. 또한 이 사칙연산을 기본으로 하여 또 다른 이항연산을 정의할 수도 있다. 예를 들어,
\[ a \circ b := 2 \times (a + b) \]
와 같이 정의하는 식이다. 이제 "사칙연산을 수행하기 위해 정말 네 개의 사칙연산 $+$, $-$, $\times$, $\div$가 반드시 필요한지(?)" 다시 한번 생각해보자. 얼핏 보아서는 이 질문이 이상하게 느껴질 수도 있지만, 만약 사칙연산 중 하나의 연산을 다른 연산들을 이용하여 표현할 수 있으면 그 연산은 불필요한 연산이라 할 수도 있다. 예를 들어 $+$ 연산의 경우 $-$ 연산을 이용하여 아래와 같이 표현이 가능하다.
\[ a + b = a - (0 - b). \]
따라서 사실은 $-$, $\times$, $\div$의 세 개의 연산만으로도 기본적인 사칙연산이 가능하다! 만약에 어떤 이항연산 $\ultimate$가 존재하여 사칙연산을 모두 표현할 수 있다면 이 이항연산 $\ultimate$는 마땅히 궁극의 이항연산(ultimate binary operation)이라 불릴법도 하다. 이번 글에서는 정말 그러한 $\ultimate$가 존재 하는지에 대하여 알아보고자 한다.
궁극의 이항연산(ultimate binary operation)
먼저 궁극의 이항연산 $\ultimate$를 정의하기 전에, 아래의 문제에 대해서 생각해 보자.
증명. $a,\,b$가 임의의 실수라 하자. 먼저 위에서 살펴 보았듯이 $a$와 $b$의 덧셈은 뺄셈을 이용하여 아래와 같이 표현이 가능하다.
\[ a + b = a - (0 - b). \]
이제 $a$와 $b$의 곱셈을 뺄셈과 역수 두 연산을 이용하여 표현하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 $a=0$이라 하면 $a \times b = 0 \times b = 0$이고 $a=1$이라 하면 $a \times b = 1 \times b = b$를 얻는다. 물론 이 사실은 $b$에 대해서도 성립하므로, $a$와 $b$ 모두 $0$ 또는 $1$이 아닌 경우만 고려해주면 충분하다. 이제
의 식이 성립하므로, 위 식의 양변에 역수를 취해주면 $a - a^2$을 얻을 수 있고, 따라서 $a^2$이 뺄셈과 역수만으로 표현이 가능함을 알 수 있다. 따라서 $a=b$인 경우는 뺄셈과 역수만으로 표현이 가능하다. 이제 $a \neq b$라 가정하자. 그러면 아래 항등식
\[ -2 \times (a \times b) = (a - b)^2 - a^2 - b^2 \]
으로부터 $-2 \times (a \times b)$를 구할 수 있다. 이제 마지막으로 $a \times b$를 구하기 위해서는 $-2$로 나누는 연산을 뺄셈과 역수만을 이용하여 표현할 수 있어야 하는데, 이는 아래와 같은 방법으로 가능하다. 먼저 $c=-2 \times (a \times b)$라 하자. 그러면 $c \neq 0$이므로
이고 우변의 곱셈이 뺄셈과 역수만으로 표현이 가능하므로, 결국 모든 사칙연산은 뺄셈과 역수 두개의 연산만으로 표현이 가능하다..
이제 위 사실을 바탕으로 궁극의 이항연산을 정의해보자. 임의의 두 실수 $a,\,b$에 대하여 $a$와 $b$의 궁극의 이항연산을 아래와 같이 정의한다.
\[ a \ultimate b := \begin{cases}
\; {\displaystyle \frac{1}{a - b}} \qquad & \text{if} \quad a \neq b \\
\;\quad 0 & \text{if} \quad a = b
\end{cases} \]
그러면 다음의 사실이 성립한다.
증명. 정리 1에 의해 $\ultimate$이 뺄셈과 역수 두 연산을 표현할 수 있음을 보이면 충분하다. 먼저 임의의 실수 $a \neq 0$에 대하여,