Problems and Solutions #036

사차방정식

x^{4} - 3 x + 2 = 0

의 네 근을 각각

a

b

c

d

라 하자. 이 때,

a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}

의 값을 구하여라.

풀이 1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

a + b + c + d = 0, a b c + a b d + a c d + b c d = 3

임을 알 수 있다. 따라서

\begin{aligned} 0 & = (a + b + c + d)^{3} \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \\ + 3 a^{2} (b + c + d) + 3 b^{2} (a + c + d) + 3 c^{2} (a + b + d) + 3 d^{2} (a + b + c) \\ + 6 (a b c + a b d + a c d + b c d) \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} \\ + 3 a^{2} (- a) + 3 b^{2} (- b) + 3 c^{2} (- c) + 3 d^{2} (- d) \\ + 6 (3) \\ = - 2 (a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}) + 18 \end{aligned}

따라서 $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 9$ 를 얻는다..

풀이 2. 우선 $x = 0$ 은 방정식의 해가 아니므로, 주어진 사차방정식을 변형하d여

x^{4} = 3 x - 2 ⟹ x^{3} = 3 - \frac{2}{x}

를 얻는다. 따라서

a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{2} = 12 - 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})

임을 알 수 있다. 이제 주어진 사차방정식에 $x = \frac{1}{y}$ 를 대입하여 정리하면,

\frac{1}{y^{4}} - \frac{3}{y} + 2 = 0 ⟹ 2 y^{4} - 3 y^{3} + 1 = 0

위 사차방정식의 네 근은 각각 $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ , $\frac{1}{c}$ , $\frac{1}{d}$ 이고 근과 계수와의 관계에 의해

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{3}{2}

임을 알 수 있다. 따라서

a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{2} = 12 - 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = 12 - 2 (\frac{3}{2}) = 9

를 얻는다..

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