풀이. 우선 $\sqrt{p} + \sqrt{q} \in \Q(\sqrt{p},\, \sqrt{q})$이므로, $\Q(\sqrt{p}+\sqrt{q}) \subset \Q(\sqrt{p},\, \sqrt{q})$임은 자명하다.

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이제 반대 방향의 포함관계를 보이자. 먼저 \[ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = p + q + 2\sqrt{pq} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q}) \] 이므로 $\sqrt{pq} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})$임을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다. \[ \sqrt{pq}(\sqrt{p}+\sqrt{q}) - p(\sqrt{p}+\sqrt{q}) = (q-p)\sqrt{p} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q}) \] 여기서 $p \neq q$이므로, $\sqrt{p} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})$이다. 마지막으로 \[ (\sqrt{p}+\sqrt{q}) - \sqrt{p} = \sqrt{q} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q}) \] 따라서 $\sqrt{p},\, \sqrt{q} \in \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})$이고 $\Q(\sqrt{p},\, \sqrt{q}) \subset \Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})$를 얻는다. 그러므로 두 확대체는 서로 같다..