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풀이 1. $\theta = \frac{2\pi}{5}$라 하자. 이제 $2\theta + 3\theta = 5\theta = 2\pi$이므로 $\cos 2\theta = \cos 3\theta$임을 알 수 있다. 이제 이 식의 양변을 배각공식을 이용하여 정리하면,
\[ 2 \cos^2 \theta - 1 = \cos 2\theta = \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \]
를 얻는다. 따라서 $x = \cos \theta$라 하면 다음의 방정식을 얻는다.
\[ 2x^2 - 1 = 4x^3 - 3x \]
위 식을 정리하면,
\[ 0 = 4x^3 - 2x^2 - 3x - 1 = (x-1)(4x^2 + 2x - 1) \]
인데, $\cos \theta \neq 1$이므로 $\cos \theta$는 이차방정식 $4x^2 + 2x - 1$의 한 해가 됨을 알 수 있다. 한편 $\cos \theta > 0$이므로 이차방정식의 두 해 중에 양수인 해
\[ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \]
가 $\cos \theta$의 값이 됨을 알 수 있다..
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풀이 2. $\theta = \frac{2\pi}{5}$, $z = e^{i\theta}$라 하자. 그러면 $z^5 - 1 = 0$을 만족한다. 따라서
\[ 0 = z^5 - 1 = (z-1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) \]
이제 $(z-1)z^2 \neq 0$이므로 위 식의 양변을 $(z-1)z^2$으로 나누어 주면,
\[ \begin{align*}
0 &= z^2 + z + 1 + z^{-1} + z^{-2} \\[5px]
&= \left( z^2 + z^{-2} \right) + \left( z^2 + z^{-2} \right) + 1 \\[5px]
&= \left( z + z^{-1} \right)^2 + \left( z + z^{-1} \right) - 1 \tag{1}
\end{align*} \]
을 얻는다. 한 편,
\[ z + z^{-1} = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta) \tag{2} \]
가 성립하므로, $x = \cos \theta$이라 두고 식 $(2)$를 식 $(1)$에 대입하면
\[ 0 = (2x)^2 + (2x) - 1 = 4x^2 + 2x - 1 \]
즉, $\cos \theta$는 이차방정식 $4x^2 + 2x - 1$의 한 해가 됨을 알 수 있다. 나머지 풀이는 풀이 1과 같다..
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풀이 3. 더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값를 알고 있다면, $\cos(\frac{2\pi}{5})$의 값을 곧바로 구할 수 있다. 삼각함수 표에 의하면,
\[ \cos(\tfrac{2\pi}{5}) = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \frac{\sqrt{5}+1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1) \]
를 얻는다..