증명 1. $x \neq y$를 가정하고 부등식 $(\ast)$의 양변을 $\abs{x-y}$로 나누면 \[ 0 \leq \abs{\frac{f(x) - f(y)}{x - y}} \leq \abs{x - y} \] 를 얻는다. 이제 위 부등식에 $x \to y$의 극한을 취하면, \[ 0 \leq \lim_{x \to y} \abs{\frac{f(x) - f(y)}{x - y}} \leq \lim_{x \to y} \abs{x - y} = 0 \] 따라서 조임정리(squeeze theorem)에 의해 \[ \abs{f'(y)} = \lim_{x \to y} \abs{\frac{f(x) - f(y)}{x - y}} = 0 \] 따라서 모든 $y \in \R$에 대하여 $f'(y) = 0$을 얻고, $f$가 상수함수임을 알 수 있다..

$ $

증명 2. 두 실수 $x > y$를 고정하고, 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음과 같이 수열을 정의한다. \[ a_k = y + \frac{k(x-y)}{n}, \qquad k = 0,\, 1,\, 2,\, \cdots,\, n \] 특히, $a_0 = y$, $a_n = x$임을 알 수 있다. 또한 각각의 $k = 1,\, 2,\, \cdots,\, n$에 대하여 \[ a_{k} - a_{k-1} = \left( y + \frac{k(x-y)}{n} \right) - \left( y + \frac{(k-1)(x-y)}{n} \right) = \frac{x-y}{n} \] 을 얻는다. 따라서 \[ \begin{align*} \abs{f(x) - f(y)} &= \abs{\sum_{k=1}^{n} f(a_{k}) - f(a_{k-1})} \\[5px] &\leq \sum_{k=1}^{n} \abs{f(a_{k}) - f(a_{k-1})} \\[5px] &\leq \sum_{k=1}^{n} \abs{a_{k} - a_{k-1}}^2 \\[5px] &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{x-y}{n} \right)^2 \\[5px] &= \frac{(x-y)^2}{n} \end{align*} \] 따라서 위 부등식의 양변에 $n \to \infty$의 극한을 취하면 $\abs{f(x) - f(y)} = 0$을 얻는다. 여기서 $x > y$는 임의의 실수이므로, $f$가 상수함수임을 알 수 있다..