풀이. $a^2 + b^2$의 값을 간단히 정리하면 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} a^2 + b^2 &= (a + b)^2 - 2ab \\[5px] &= (3x - 2)^2 - 2(4x^2 - 3x - 7) \\[5px] &= 9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 6x + 14 \\[5px] &= x^2 - 6x + 18 \\[5px] &= (x - 3)^2 + 9 \tag*{$(\ast)$} \end{align*} \] 따라서 $x = 3$일 때, $a^2 + b^2$이 최솟값 $9$를 갖는다고 성급히 결론을 내릴 수 있다. 하지만 실제로 $x = 3$인 경우, $a + b = 7$이고 $ab = 20$이 되어 이 두 식을 만족하는 실수 $a,\,b$는 존재하지 않는다.

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이제 어떤 이차방정식의 두 근이 $a,\,b$로 주어졌다고 하자. 그러면 근과 계수와의 관계에 의해서 \[ y^2 - (3x - 2)y + (4x^2 - 3x - 7) = 0 \] 를 얻는다. 이 이차방정식의 실근이 존재하기 위해서는 판별식 $D \geq 0$이어야 하므로, \[ \begin{align*} 0 \leq D &= (3x - 2)^2 - 4(4x^2 - 3x - 7) \\[5px] &= 9x^2 - 12x + 4 - 16x^2 + 12x + 28 \\[5px] &= -7x^2 + 28 \end{align*} \] 따라서 $x^2 \leq 4$ 또는 $-2 \leq x \leq 2$여야만 함을 알 수 있다. 따라서 이 범위에서 $(\ast)$의 최솟값을 생각해 보면, $x = 2$일 때, $a^2 + b^2$는 최솟값 $10$을 갖는다..