풀이. 전체 케이크의 크기를 $1$이라 하고, 자연수 $1 \leq n \leq 100$에 대하여 $f(n)$을 $n$번째 사람이 가져간 케이크의 크리로 정의하자. 그러면 $f(n)$은 아래와 같이 계산된다. \[ f(n) = \frac{n}{100} \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \frac{100 - k}{100} \] 그러므로 $f(n+1)/f(n)$의 값은 \[ \frac{f(n+1)}{f(n)} = \dfrac{\dfrac{n+1}{100} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^{n}} \dfrac{100 - k}{100}}{\dfrac{n}{100} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1}} \dfrac{100 - k}{100}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{100-n}{100} \] 와 같다. 따라서 $f(n+1) > f(n)$은 다음과 동치이다. \[ \begin{align*} \frac{f(n+1)}{f(n)} > 1 &\iff \frac{n+1}{n} \cdot \frac{100-n}{100} > 1 \\[5px] &\iff (n+1)(100-n) > 100n \\[5px] &\iff n^2 + n - 100 < 0 \end{align*} \] 위 방정식 $x^2 + n - 100 = 0$의 두 근을 수치적으로 구해보면 $x = -10.5125,\, 9.5125$임을 알 수 있다. 따라서 함수 $f(x)$는 점 $x=9.5125$에서 극댓값을 갖고, 따라서 두 값 $f(9)$와 $f(10)$를 비교해 보면 충분함을 알 수 있다. 실제로 $f(10)/f(9)$의 값을 계산해 보면, \[ \frac{f(10)}{f(9)} = \frac{10}{9} \cdot \frac{91}{100} = \frac{910}{900} > 1 \] 따라서 $10$번째 사람이 가장 많은 양의 케이크를 가져간다..