풀이. 우선 다음 식이 성립함을 확인하자. \[ \big( \sqrt{n + 20} + \sqrt{n - 19} \big) \big( \sqrt{n + 20} - \sqrt{n - 19} \big) = (n + 20) - (n - 19) = 39 \] 이제 적당한 양의 정수 $n \in \N$이 존재하여 $\sqrt{n + 20} + \sqrt{n - 19}$가 유리수라 가정하면, 위 식의 우변이 유리수 이므로, $\sqrt{n + 20} - \sqrt{n - 19}$ 또한 유리수여야만 한다. 한 편, \[ \begin{align*} \sqrt{n + 20} &= \frac{1}{2} \left[ \big( \sqrt{n + 20} + \sqrt{n - 19} \big) + \big( \sqrt{n + 20} - \sqrt{n - 19} \big)\right] \\[5px] \sqrt{n - 19} &= \frac{1}{2} \left[ \big( \sqrt{n + 20} + \sqrt{n - 19} \big) + \big( \sqrt{n + 20} - \sqrt{n - 19} \big)\right] \end{align*} \] 가 성립한다. 유리수는 사칙연산에 대하여 닫혀 있으므로, $\sqrt{n + 20}$과 $\sqrt{n - 19}$ 모두 유리수여야만 함을 알 수 있다. 하지만 $n + 20$과 $n - 19$는 정수이므로, $\sqrt{n + 20}$과 $\sqrt{n - 19}$이 모두 유리수가 되게 하기 위해서는 $n + 20$과 $n - 19$ 모두 제곱수여야만 하고, 이 경우 $\sqrt{n + 20}$과 $\sqrt{n - 19}$는 모두 (양의)정수여야만 한다. 이제 적당한 두 양의 정수 $a > b \in \N$에 대하여, $a := \sqrt{n + 20}$, $b := \sqrt{n - 19}$로 나타내자. 그러면 \[ a^2 - b^2 = \big( \sqrt{n + 20} \big)^2 - \big( \sqrt{n - 19} \big)^2 = 39 \] 가 성립한다. 여기서 $39 = 39 \cdot 1 = 13 \cdot 3$이고 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$이므로, \[ \left\{ \begin{aligned} a + b &= 39 \\ a - b &= 1 \end{aligned} \right., \qquad \left\{ \begin{aligned} a + b &= 13 \\ a - b &= 3 \end{aligned} \right. \] 따라서 첫번째 경우 $(a,\,b) = (20,\, 19)$를 얻고, 두번째 경우 $(a,\,b) = (8,\, 5)$를 얻는다. 마지막으로 이를 $n$에 관하여 정리하면, $n = 380$ 또는 $n = 44$임을 알 수 있다..