풀이. 우선 간단한 계산을 통해서 $\sqrt{3}-\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$임을 보일 수 있다. 따라서 $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}$는 매우 작은 수이다. 실제로 상용로그를 이용하여 값을 근사해 보면, $$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}<3^{-1000}⟹\log (\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}<-1000\log (3)\approx -477.1$$ 를 얻는다. 즉, $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}<{10}^{-477.1}$이고 이는 $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}$가 소숫점 아래 $478$번째 자리보다도 더 이후에 처음으로 $0$이 아닌 수가 나올 정도로 작은 수 임을 의미한다. (실제로 컴퓨터를 이용하여 계산해 보면 소숫점 아래 $498$번째 자리에서 처음으로 $0$이 아닌 수가 나옴을 확인할 수 있다.) 한편, 이항정리를 이용하여 다음 수의 값을 계산해 보면 $$\begin{array}{rl}(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^{1000}& +(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^{1000}\\ & =\sum _{k=0}^{1000}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k})(\sqrt{3}{)}^{1000-k}({\sqrt{2}}^k)+\sum _{k=0}^{1000}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k})(\sqrt{3}{)}^{1000-k}(-1{)}^k(\sqrt{2}{)}^k\\ & =2\sum _{m=0}^{500}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{2m})(\sqrt{3}{)}^{1000-2m}(\sqrt{2}{)}^{2m}\\ & =2\sum _{m=0}^{500}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{2m})3^{500-m}{2}^m\end{array}$$ 위 식의 우변의 모든 항이 양의 정수이므로, 좌변 또한 양의 정수이다. 그러므로 적어도 $(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^{1000}$의 소수점 아래 $477$번째 자리까지는 모두 $9$가 와야 하고, 따라서 소수점 아래 $100$번째 자릿수는 당연히 $9$일 수 밖에 없다.$$