풀이. 우선 간단한 계산을 통해서 $\sqrt{3} - \sqrt{2} < \dfrac{1}{3}$임을 보일 수 있다. 따라서 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000}$는 매우 작은 수이다. 실제로 상용로그를 이용하여 값을 근사해 보면, \[ (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000} < 3^{-1000} \implies \log(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000} < -1000 \log(3) \approx -477.1 \] 를 얻는다. 즉, $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000} < 10^{-477.1}$이고 이는 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000}$가 소숫점 아래 $478$번째 자리보다도 더 이후에 처음으로 $0$이 아닌 수가 나올 정도로 작은 수 임을 의미한다. (실제로 컴퓨터를 이용하여 계산해 보면 소숫점 아래 $498$번째 자리에서 처음으로 $0$이 아닌 수가 나옴을 확인할 수 있다.) 한편, 이항정리를 이용하여 다음 수의 값을 계산해 보면 \[ \begin{align*} (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1000} &+ (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{1000} \\[5px] &= \sum_{k=0}^{1000} \binom{1000}{k} (\sqrt{3})^{1000-k} (\sqrt{2}^{k})+ \sum_{k=0}^{1000} \binom{1000}{k} (\sqrt{3})^{1000-k} (-1)^{k} (\sqrt{2})^{k} \\[5px] &= 2 \sum_{m=0}^{500} \binom{1000}{2m} (\sqrt{3})^{1000-2m} (\sqrt{2})^{2m} \\[5px] &= 2 \sum_{m=0}^{500} \binom{1000}{2m} 3^{500-m} \, 2^{m} \end{align*} \] 위 식의 우변의 모든 항이 양의 정수이므로, 좌변 또한 양의 정수이다. 그러므로 적어도 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1000}$의 소수점 아래 $477$번째 자리까지는 모두 $9$가 와야 하고, 따라서 소수점 아래 $100$번째 자릿수는 당연히 $9$일 수 밖에 없다.$ $