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풀이 1. $n$에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 것이다. 우선, 계산의 편의를 위하여 $a = -w$, $b = -\bar{w}$로 정의하자. 근과 계수와의 관계에 의해서 $w + \bar{w} = -1$, $w \bar{w} = 1$이 성립하므로, $a + b = 1$, $ab = 1$임을 알 수 있다. 또한 $n = 0,\, 1$일 때,
\[ 2^0 + a^0 + b^0 = 3, \quad 2^1 + a^1 + b^1 = 3 \]
이므로 $n = 0,\, 1$일 때 주어진 명제가 성립함을 알 수 있다. 이제 $n = k-1,\, k$일 때 주어진 명제가 성립한다고 가정하자. 따라서 적당한 양의 정수 $M,\, N$에 대하여
\[ 2^{k-1} + a^{k-1} + b^{k-1} = 3M, \quad 2^k + a^k + b^k = 3N \]
으로 둘 수 있다. 그러면 $n = k+1$일 때,
\[ \begin{align*}
2^{k+1} + a^{k+1} + b^{k+1}
& = 2^{k+1} + a^k(1-b) + b^k(1-a) \\[5px]
& = \underbrace{2^k + a^k + b^k}_{=3N} + 2^k - a^kb - b^ka \\[5px]
& = 3N + 3 \cdot 2^{k-1} - \underbrace{(2^{k-1} + a^{k-1} + b^{k-1})}_{=3M} \\[5px]
& = 3(N + 2^{k-1} - M)
\end{align*} \]
따라서 $2^{k+1} + a^{k+1} + b^{k+1}$ 또한 $3$의 배수임을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 음이 아닌 모든 정수 $n \geq 0$에 대하여 주어진 명제가 성립한다.$ $
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풀이 2. 위 풀이와 마찬가지로 $a = -w$, $b = -\bar{w}$로 정의하자. 그러면 $a + b = 1$, $ab = 1$가 성립한다. 따라서 $2 + a + b = 3$이고,
\[ 4 + a^2 + b^2 = 4 + (a + b)^2 - 2ab = 4 + 1 - 2 = 3 \]
이 성립한다. 주어진 명제는 임의의 음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $2^n + a^n + b^n \equiv 0 \pmod{3}$을 보이는 것과 같다. 이를 증명하기 위해 $n = 3k,\, 3k+1,\, 3k+2$의 세 가지 경우를 나누어 생각해 보자. 먼저 $n = 3k$인 경우,
\[ \begin{align*}
2^{3k} + a^{3k} + b^{3k}
& = 8^k + (a^3)^k + (b^3)^k \\[5px]
& \equiv (-1)^k + (-1)^k + (-1)^k \equiv 0 \pmod{3}
\end{align*} \]
그리고 $n = 3k+1$인 경우,
\[ \begin{align*}
2^{3k+1} + a^{3k+1} + b^{3k+1}
& \equiv 2(-1)^k + a(-1)^k + b(-1)^k \\[5px]
& = \underbrace{(2 + a + b)}_{=3}(-1)^k \equiv 0 \pmod{3}
\end{align*} \]
마지막으로 $n = 3k+2$인 경우,
\[ \begin{align*}
2^{3k+2} + a^{3k+2} + b^{3k+2}
& \equiv 4(-1)^k + a^2(-1)^k + b^2(-1)^k \\[5px]
& = \underbrace{(4 + a^2 + b^2)}_{=3}(-1)^k \equiv 0 \pmod{3}
\end{align*} \]
그러므로 음이 아닌 모든 정수 $n \geq 0$에 대하여 주어진 명제가 성립한다.$ $