Tag: gamma function

특수한 형태의 무한급수와 벨수(Bell number), 감마함수(gamma function)와의 연관성

      Comments Off on 특수한 형태의 무한급수와 벨수(Bell number), 감마함수(gamma function)와의 연관성

이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다. 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 위... Read more »

감마함수(gamma function)의 유일성(uniqueness)

      Comments Off on 감마함수(gamma function)의 유일성(uniqueness)

지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를... Read more »

$n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)

      Comments Off on $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)

이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자.   먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과... Read more »

감마함수(gamma function)와 베타함수(beta function)

      Comments Off on 감마함수(gamma function)와 베타함수(beta function)

감마함수(gamma function)와 계승(factorial) 감마함수(gamma function)는 계승(factorial)을 일반화 한 형태의 함수로써, 다음과 같이 적분 형태로 정의된다. \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \]   어떤 의미에서 감마함수가 계승의... Read more »

1. 정의와 예제(definitions and examples)

      Comments Off on 1. 정의와 예제(definitions and examples)

라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의... Read more »

가우스 적분(Gaussian integral)의 증명

      Comments Off on 가우스 적분(Gaussian integral)의 증명

가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. \[ 2 I := 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx = \sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx \] 함수 $f(x) = e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에... Read more »