이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다. 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 위... Read more »
지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를... Read more »
이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자. 먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과... Read more »
감마함수(gamma function)와 계승(factorial) 감마함수(gamma function)는 계승(factorial)을 일반화 한 형태의 함수로써, 다음과 같이 적분 형태로 정의된다. \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 어떤 의미에서 감마함수가 계승의... Read more »
라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의... Read more »
가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. \[ 2 I := 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx = \sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx \] 함수 $f(x) = e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에... Read more »