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풀이. 주어진 극한값을 $L$이라 하자. 이제 $x = 2^n$으로 치환을 하면 주어진 극한은 다음 극한과 같다.
\[ L = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \]
이제 이항정리에 따르면 $a \approx 0$일 때, $(1+a)^n \approx 1 + na$이므로
\[ \begin{align*} L &= \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1 \right) \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} x \left( 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) - 1\right) \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3} + \frac{1}{3x} \\[5px] &= \frac{1}{3}\end{align*} \]
따라서 $L = \frac{1}{3}$을 얻는다..