평균값 정리_{(mean value theorem)}는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과 같다.

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평균값 정리는 보통 롤의 정리_{(Rolle's theorem)}을 이용하여 증명한다. 롤의 정리 또한 평균값 정리에서 $f(b) = f(a)$인 특수한 경우로 볼 수 있으므로, 사실 이 두 정리는 서로 동치이다.

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증명. 함수 $M : [a,\, b] \to \R$을 다음과 같이 정의하자. \[ M(x) := f(x) - \frac{f(b) + f(a)}{b + a}x \] 그러면 $M(x)$는 닫힌 구간 $[a,\, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,\, b)$에서 미분가능함을 알 수 있다. 또한 \[ \begin{align*} M(a) &= f(a) - \frac{f(b) + f(a)}{b + a}a \\[5px] &= \frac{1}{b + a} \Big[ \underbrace{bf(a)}_{= \, af(b)} + af(a) - af(b) - af(a) \Big] = 0 \\[5px] M(b) &= f(b) - \frac{f(b) + f(a)}{b + a}b \\[5px] &= \frac{1}{b + a} \Big[ bf(b) + \underbrace{af(b)}_{= \, bf(a)} - bf(b) - bf(a) \Big] = 0 \end{align*} \] 따라서 $M(x)$는 롤의 정리의 전제조건을 모두 만족한다. 따라서 $M'(c) = 0$을 만족하는 점 $c \in (a,\, b)$가 존재하고, 이를 정리하면 원하는 결과를 얻는다.$ $

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증명. 함수 $M : [a,\, b] \to \R$을 다음과 같이 정의하자. \[ M(x) := f(x) - \frac{f(b)f(a)}{ba}(x - b) \] 그러면 $M(x)$는 닫힌 구간 $[a,\, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,\, b)$에서 미분가능함을 알 수 있다. 또한 $ab(f(a) - f(b)) = f(a)f(b)(a - b)$가 성립하므로, \[ \begin{align*} M(a) & = f(a) - \frac{f(b)f(a)}{ba}(a - b) \\[5px] & = f(a) - \Big[ f(a) - f(b) \Big] = f(b) = M(b) \end{align*} \] 따라서 $M(x)$는 롤의 정리의 전제조건을 모두 만족한다. 따라서 $M'(c) = 0$을 만족하는 점 $c \in (a,\, b)$가 존재하고, 이를 정리하면 원하는 결과를 얻는다.$ $

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증명. 우선 $g(a) = g(b)$인 경우, $g$에 대하여 롤의 적리를 적용하면 $g'(c) = 0$을 만족하는 $c \in (a,\,b)$가 존재하므로, 원하는 결론을 얻는다.

이제 $g(a) \neq g(b)$를 가정하고, 함수 $M : [a,\, b] \to \R$을 다음과 같이 정의하자. \[ M(x) := f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \Big[ g(x) - g(a) \Big] \] 그러면 간단한 계산을 통해서 $M(a) = f(a) = M(b)$임을 확인할 수 있고, 따라서 $M(x)$는 롤의 정리의 전제조건을 모두 만족한다. 따라서 $M'(c) = 0$을 만족하는 점 $c \in (a,\, b)$가 존재하고, 이를 정리하면 원하는 결과를 얻는다.$ $

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참고. 페아노의 평균값 정리에서 $h(x) = 1$인 경우, 코시의 평균값 정리를 얻는다. 또한 $h(x) = 1$이고 $g(x) = x$인 경우, 라그랑주의 평균값 정리를 얻는다. 라그랑주의 평균값 정리의 특수한 형태가 롤의 정리이고, 롤의 정리로부터 페아노의 평균값 정리를 증명할 수 있으므로, 결국 여기서 언급된 모든 평균값 정리들은 서로 동치이다.

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