Juyoung JeongComments Off on 쿠라토프스키의 14개 집합 정리(Kuratowski 14-set theorem)
위상공간 $(X, \mathcal{T})$의 한 부분집합 $A \subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그러면 $A$에 적용할 수 있는 집합 연산은 내부(interior) 연산 $I(A) = \operatorname{int}(A) = A^{\circ}$, 폐포(closure) 연산 $K(A) = \operatorname{cl}(A) = \bar{A}$, 경계(boundary) 연산 $B(A) = \operatorname{bd}(A) = \partial A$, 그리고 여집합(complement) 연산 $C(A) = A^{c}$ 등을 생각해 볼 수 있다. 이제 주어진 집합 $A \subseteq X$에 위 네 가지 연산을 임의의 순서로 반복 적용했을 때, 얻을 수 있는 서로 다른 집합은 어떤 것들이 있는가에 대한 문제를 생각해 보자.
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이 중 내부의 경우 임의의 집합 $A \subseteq X$에 대하여 $I(A) = CKC(A)$가 성립하므로, 실제로는 폐포, 경계, 여집합의 세 가지 연산만 고려하면 충분하다. 1922년 폴란드 수학자 카지미에시 쿠라토프스키(K. Kuratowski)는 주어진 집합 $A \subseteq X$에 폐포와 여집합 두 개의 집합 연산을 임의의 순서로 반복 적용했을 때 얻을 수 있는 서로 다른 집합의 개수에 대한 정리를 발표하였다. (이 정리를 쿠라토프스키의 폐포-여집합 정리Kuratowski closure-complement theorem 또는 쿠라토프스키의 14개 집합 정리Kuratowski 14-set theorem이라 부른다.)
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증명. 먼저 주어진 집합 $A \subseteq X$에 대하여 다음이 성립한다.
\[ KK(A) = K(A), \quad II(A) = I(A), \quad CC(A) = A, \quad CKC(A) = I(A) \]
따라서 폐포 연산 또는 여집합 연산을 연속으로 적용하는 것으로는 새로운 집합을 얻을 수 없음을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 임의의 집합 $A \subseteq X$에 대하여 집합 연산에 대한 다음 항등식
\[ IKIK(A) = IK(A) \]
가 성립함을 보이자. 편의상 $U = IK(A)$로 정의하자. 그러면 $IK(U) = U$가 성립함을 보이면 충분하다. 먼저 $U$는 열린집합이고 $U \subseteq K(U)$가 성립한다. 이제 $IK(U)$는 $K(U)$에 포함되는 가장 큰 열린집합이므로 $U \subseteq IK(U)$를 얻는다. 반대로 $IK(A) \subseteq K(A)$라는 사실로부터
\[ K(U) = KIK(A) \subseteq KK(A) = K(A) \]
를 얻는다. 그러므로 $IK(U) \subseteq IK(A) = U$ 또한 성립한다. 이제 $CKC(A) = I(A)$라는 사실로부터 $KC(A) = CI(A)$ 또한 성립함을 알 수 있고, 이를 이용하면
\[ \myunderbracket{KC}{=CI} K \myunderbracket{CKC}{=I} K(A) = C \myunderbracket{IKIK}{=IK} (A) = \myunderbracket{CI}{=KC} K(A) = KCK(A) \]
를 얻는다. 따라서 위 사실로부터 집합 $A$에 폐포 연산과 여집합 연산을 임의의 순서로 반복 적용했을 때 얻을 수 있는 서로 다른 집합은 다음 14가지 중 하나여야만 함을 확인할 수 있다.
$A$
$K(A)$
$CK(A)$
$KCK(A)$
$CKCK(A)$
$KCKCK(A)$
$CKCKCK(A)$
$C(A)$
$KC(A)$
$CKC(A)$
$KCKC(A)$
$CKCKC(A)$
$KCKCKC(A)$
$CKCKCKC(A)$
그러므로 폐포 연산 $K(A)$와 여집합 연산 $C(A)$를 임의의 순서로 반복 적용해 얻을 수 있는 서로 다른 집합은 최대 14개를 넘지 않는다.$ $
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예제. 주어진 집합 $A$에 쿠라토프스키의 14개 집합 정리로 부터 얻는 14개의 집합이 언제나 다른 집합이 되는 것은 아니다. 예를 들어 실수집합 $\R$ 위에 보통위상 $\mathcal{U}$가 주어진 위상공간 $(\R, \mathcal{U})$에 대하여, 집합 $A = \Q$라 하면 $A$로부터 얻어지는 14개의 집합은 다음
\[ \emptyset, \quad \Q, \quad \R \setminus \Q, \quad \R \]
중의 하나이다. 이번에는 집합 $A$를 다음과 같이 정의하자.
\[ A = \{0\} \cup (1, 2) \cup (2, 3) \cup \{(4, 5) \cap \Q\}. \]
그러면 집합 $A$에 폐포 연산과 여집합 연산을 반복적으로 적용했을 때 얻을 수 있는 집합들은 다음과 같다.
참고. 쿠라토프스키의 14개 집합 정리의 증명 과정에서 임의의 집합 $A \in X$에 대하여
\[ IKIK(A) = IK(A), \quad KIKI(A) = KI(A) \]
가 성립함을 확인하였다. (이 중 두 번째 항등식은 직접 증명도 가능하지만, 첫 번째 항등식으로부터 간단히 유도해 낼 수 있다. 먼저 $CC(A) = A$이므로
\[ CIKC(A) = \myunderbracket{CIC}{=K} \myunderbracket{CKC}{=I} (A) = KI(A) \]
가 성립한다. 따라서
\[ KIKI(A) = CIK \mycancel{CC} IKC(A) = C \myunderbracket{IKIK}{=IK} C(A) = CIKC(A) = KI(A) \]
를 얻는다.) 따라서 집합 $A$에 폐포 연산 $K(A)$와 내부 연산 $I(A)$를 임의의 순서로 반복 적용해 얻을 수 있는 서로 다른 집합은
\[ A, \quad K(A), \quad IK(A), \quad KIK(A), \quad I(A), \quad KI(A), \quad IKI(A) \]
로 최대 7가지 이다.$ $
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참고. 경계 연산 $B(A) = \partial A$의 경우, 다른 연산과는 다르게 $BB(A)$가 $B(A)$ 또는 $A$가 되지 않을 수 있다. 예를 들어 $A = \Q$인 경우,
\[ A = \Q, \quad B(A) = \R, \quad BB(A) = \emptyset \]
이다. (하지만 $BBB(A) = BB(A)$는 언제나 성립한다. 먼저 $B(A)$가 닫힌 집합이므로
\[ BB(A) = CB(A) \setminus IB(A) = B(A) \setminus IB(A) \tag*{$\myblue{(\ast)}$} \]
를 얻는다. 따라서 $BB(A) \subseteq B(A)$는 언제나 성립하고, $BB(A) = B(A)$일 필요충분조건은 $IB(A)$가 공집합임을 알 수 있다. 이제 $IBB(A)$가 언제나 공집합임을 확인할 것이다. 우선 식 $\myblue{(\ast)}$에 의해 $BB(A) \cap IB(A) = \emptyset$를 얻는다. 한편, $IBB(A) \subseteq BB(A)$가 성립하고, $BB(A) \subseteq B(A)$라는 사실로부터 $IBB(A) \subseteq IB(A)$를 얻는다. 따라서
\[ IBB(A) = BB(A) \cap IB(A) = \emptyset \]
이 성립한다. 따라서 식 $\myblue{(\ast)}$에서 $A$ 대신 $B(A)$를 대입하여 정리하면
\[ BBB(A) = BB(A) \setminus IBB(A) = BB(A) \setminus \emptyset = BB(A) \]
이다.) 이러한 성질들을 이용하면, 주어진 집합 $A$에 폐포 연산 $K(A)$와 여집합 연산 $C(A)$, 그리고 경계 연산 $B(A)$를 임의의 순서로 반복 적용해 얻을 수 있는 서로 다른 집합은 최대 34개임이 알려져 있다. (이에 대한 증명은 추후에 기회가 되면 다루어 보도록 하자.)$ $