순서체(ordered field)에 대하여

      Comments Off on 순서체(ordered field)에 대하여

순서체(ordered field)란 체(field) $F$에 순서 구조가 주어진 공간을 말한다. 순서체의 수학적 정의는 다음과 같다.

 

정의. 순서체(ordered field)

$F$가 임의의 체(field)하 하자. 그러면 다음 두 주건을 만족하는 집합 $P \subseteq F$를 체 $F$의 양수뿔(positive cone)이라 한다.

  1. [O1] 임의의 원소 $a \in F$에 대하여, $a \in P$, $a = 0$, 또는 $-a \in P$ 중 오직 한가지 경우만을 만족한다. 즉, $F$를 집합 $P$, $\{0\}$, $-P$의 분리합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 있다.
  2. [O2] 만약 $a,\,b \in P$이면, $a+b \in P$이고 $ab \in P$이다.

체 $F$에 위 두 조건을 만족하는 집합 $P$가 존재할 때, $(F,\, P)$를 순서체(ordered field)라 하고 집합 $P$의 원소를 양의 원소(positive element), 집합 $-P$의 원소를 음의 원소(negative element)라 한다.

 

예를 들어 $F = \R$일 때, $P = \R_+^* = \set{x^2 \in \R}{x \in \R}$로 정의하면, $(\R,\, \R_+^*)$이 순서체임을 간단히 확인할 수 있다. 또한 $x-y \notin -P$일 때, 다시 말해 $x=y$이거나 $x-y \in P$일 때, $x \geq y$로 정의하면, $\geq$는 $\R$ 위에서 전순서(total order)가 된다.

 

임의의 순서체 $(F,\, P)$에 대하여 다음의 성질이 성립함을 간단히 확인해 볼 수 있다.

  1. $1 \neq 0$이고 $1 = 1^2 = (-1)^2$이므로, $1 \in P$임을 알 수 있다.
  2. 일반적으로 $0$이 아닌 제곱 원소(square element)들은 언제나 $P$에 속한다: 임의의 $a \neq 0$에 대하여 [O1]에 의해 $a \in P$이거나 $-a \in P$여야만 하는데, 어느 경우든지 $a^2 = (-a)^2$라는 사실로 부터 $a^2 \in P$가 되기 때문이다. 따라서
    \[ \set{a^2}{a \in F} \subseteq P\]

    임을 알 수 있다. 하지만 이 포함관계의 역은 성립하지 않는다. 예제 1을 참고하자.

  3. 유한순서체(finite ordered field)는 존재하지 않는다: 만약 표수(characteristic)가 $p$인 유한순서체 $(F,\, P)$가 존재한다고 가정해 보자. 이제 $1 \in P$라는 사실과 [O2]로 부터
    \[ 0 = p = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{$p$-times}} \in P \]

    가 되어 $P$의 정의에 모순이다.

 

그렇다면 어떤 체 $F$의 표수가 $0$이라면 (즉, 무한체라면) 언제나 $F$를 순서체가 되게 하는 집합 $P$를 찾을 수 있을까? 이 질문에 대한 답을 위하여 아래 두 예제를 살펴보자.

 

예제 1. $F = \Q$라 하자. 만약 $P = \Q_+^*$로 정의하면, $(\Q,\, \Q_+^*)$는 순서체가 됨을 간단히 확인 할 수 있다.

  1. $2 \in \Q_+^*$이지만, $x^2 = 2$를 만족하는 $x \in \Q$는 존재하지 않는다. 따라서 순서체 $(F,\, P)$에 대하여 일반적으로 $P = \set{a^2}{a \in F}$는 성립하지 않음을 알 수 있다.
  2. 순서체 $(\Q,\, \Q_+^*)$는 체 $\Q$ 위에서 정의되는 유일한 순서체이다: 만약 $(\Q,\, P)$가 순서체라고 해보자. 먼저 $1 \in P$이므로 수학적 귀납법을 이용하여 임의의 자연수 $n \in \N$에 대대하여 $\N \subseteq P$임을 보일 수 있다. 또한 (모든 제곱 원소는 $P$에 속하므로) $\frac{1}{n^2} \in P$이다. 따라서 임의의 양의 정수 $n>0$에 대하여
    \[ \frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n^2} \in P\]

    를 얻는다. 그러므로 임의의 양의 정수 $m,\,n >0$에 대하여

    \[ \frac{m}{n} = m \cdot \frac{1}{n} \in P\]

    이고 $\Q_+^* \subseteq P$임을 알 수 있다. 이제 $0 \neq q \in P \setminus \Q_+^*$가 존재한다고 가정해 보자. 그러면 $q \notin \Q_+^*$이므로 $-q \in \Q_+^* \subseteq P$이다. 하지만 이 경우 $0 = q + (-q) \in P$가 되어 [O1]에 모순이 생긴다. 따라서 $P = \Q_+^*$여야만 함을 알 수 있다..

 

 

예제 2. $F = \C$는 순서체가 될 수 없다. 만약 순서체 $(\C,\, P)$가 존재한다고 가정해 보자. 우선 $i \neq 0$임은 자명하다. 따라서 [O1]에 의해 $i \in P$이거나 $-i \in P$이다. 먼저 $i \in P$라 가정해 보자. 그러면 $-1 = i^2 \in P$이고 $1 = i^4 \in P$를 얻는다. 하지만 이 경우 $0 = 1 + (-1) \in P$가 되어 [O2]에 모순이 발생한다. 따라서 $-i \in P$일 수 밖에 없는데, 이 경우에도 비슷한 이유로 모순이 발생한다. 그러므로 $\C$가 순서체가 되게 하는 $P$는 존재하지 않음을 알 수 있다..

 

 

따라서 예제 2에 대하여, 순서체가 될 수 없는 무한체 $F$가 존재함을 알 수 있다. 마지막으로 $(F,\,P)$가 순서체인 경우, 집합 $P$는 유일한가에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 다음의 예를 살펴보자.

 

예제 3. $F = \Q(\sqrt{2})$라 하자. 이제 $P = \Q(\sqrt{2}) \cap \R_+^*$으로 정의하면, 즉, \[ P = \set{a + b \sqrt{2}}{a,\,b \in \Q,\; a + b\sqrt{2} \in \R_+^*} \] 그러면 $(\Q(\sqrt{2}),\, P)$은 순서체가 됨을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이제 함수 \[ \phi : \Q{\sqrt{2}} \to \Q{\sqrt{2}}, \quad a + b\sqrt{2} \mapsto a - b\sqrt{2} \] 는 $\Q{\sqrt{2}}$에서 자기 자신으로 가는 체동형사상(field isomorphism)이다. 이제 집합 $\overline{P}$를 다음과 같이 정의하자.

\begin{align*} \overline{P} &= \phi^{-1}(P) \\[5px] &= \set{a + b \sqrt{2}}{a,\,b \in \Q,\; a - b\sqrt{2} \in \R_+^*} \end{align*}

자명하게 $P \neq \overline{P}$이다.

 

이제 $\Q(\sqrt{2}),\, \overline{P})$가 순서체임을 보여보자. 우선 $\Q(\sqrt{2})$가 $\overline{P}$, $\{0\}$, $-\overline{P}$의 분리합집합으로 표현할 수 있음을 간단히 보일 수 있다. 또한 [O2]를 보이기 위해 다음의 사실을 관찰하자.

\begin{align*} \overline{P} + \overline{P} &= \phi^{-1}(P) + \phi^{-1}(P) = \phi^{-1}(P + P) \subseteq \phi^{-1}(P) = \overline{P} \\[5px] \overline{P} \cdot \overline{P} &= \phi^{-1}(P) \cdot \phi^{-1}(P) = \phi^{-1}(P \cdot P) \subseteq \phi^{-1}(P) = \overline{P} \end{align*}

따라서 $\Q(\sqrt{2}),\, \overline{P})$는 순서체이다.

 

사실 체 $\Q(\sqrt{2})$를 순서체로 만드는 집합은 $P$와 $\overline{P}$가 유일함을 보일 수 있다. 좀 더 구체적으로, $\sqrt{2}$가 양의 원소가 되게 하는 순서체는 $(\Q(\sqrt{2})),\, P)$가 유일하고, 반대로 $\sqrt{2}$가 음의 원소가 되게 하는 순서체는 $(\Q(\sqrt{2})),\, \overline{P})$가 유일하다..