$\DeclareMathOperator{\rem}{rem}\newcommand\mycancel[1]{\mypink{\cancel{\myblack{#1}}}}$배수 판정법(divisibility rule)은 주어진 정수 $N$이 또 다른 정수 $m$ 배수인지의 여부를 간단히 확인하는 일련의 절차를 말한다. 일반적으로 배수 판정법은 정수론의 다양한 결과를 이용함으로써 $N$보다 훨씬 작은 수가 $m$의 배수인지를... Read more »
피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »
다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다. 1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 $1729$였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게... Read more »
완전수(perfect number) 정수론에서, 완전수(perfect number)란 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를 들어 $6$의 양의 약수는 $1,\,2,\,3,\,6$이고, $1 + 2 + 3... Read more »
$1$부터 $9$까지의 모든 수를 내림차순(descending order)으로 적은 수 $987654321$과 오름차순(ascending order)으로 적은 수 $123456789$를 비교해 보면, 처음 수가 나중 수의 대략 $8$배 가량 된다는 사실을 확인할 수 있다. 이 관계를... Read more »
예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'라는 명제에 대한 두가지 증명을 올린 적이 있다. $ $ '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또다른 증명 $ $ 이번에는... Read more »
1960년 시어핀스키(Waclaw Sierpinski)는 모든 양의 정수 $n$에 대하여, $k 2^n +1$가 합성수가 되게 하는 홀수 양의 정수 $k$의 갯수는 무한함을 증명하였다. 그의 업적을 기리기 위해, 위 성질을 만족하는 홀수 양의... Read more »
삼각수(triangular number)란 어떠한 물체를 삼각형 모양으로 쌓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수를 말한다. 아래 그림은 첫 다섯개의 삼각수들을 보여준다. 비슷한 방법으로 사각수(square... Read more »
우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱... Read more »
저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다. \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}... Read more »