산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

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산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다.

  1. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$.
  2. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$.

이번 글에서는 산술 도함수의 정의역을 ($0$과 음의 정수를 포함한) 정수, 그리고 더 나아가 유리수까지 확장해 볼 것이다.

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산술 도함수(arithmetic derivative)의 유리수로의 확장

먼저 산술 도함수의 정의를 정수 범위까지 확장해 보도록 하자. 이때, 산술 도함수가 정수 범위까지 확장되더라도 산술 도함수가 만족해야할 기본 성질, 특히 곱의 미분법은 그대로 유지 되어야 한다. 이를 위해서 우선 $(-1)'$의 값을 계산해 보자. 먼저 $1' = 0$이므로, \[ 0 = 1' = ((-1)(-1))' = 2 \cdot (-1)' \] 따라서 $(-1)' = 0$이 됨을 알 수 있다. 이제 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, \[ (-n)' = ((-1) \cdot n)' = (-1)' \cdot n - n' = - n' \] 즉, $(-n)' = - n'$으로 정의하는 것이 자연스럽다. 그러면 자연스럽게 \[ 0' = (-0)' = - 0' \] 이 성립해야 하므로, $0' = 0$으로 정의해야 함을 알 수 있다.

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이제 산술 도함수를 유리수 범위까지 확장해 보자. 먼저 임의의 $0$이 아닌 정수 $n$에 대하여, \[ 0 = 1' = \Big( \frac{n}{n} \Big)' = n' \cdot \frac{1}{n} + n \cdot \Big( \frac{1}{n} \Big)' \] 이 성립해야 한다. 따라서 위 식을 정리하면, \[ \Big( \frac{1}{n} \Big)' = - \frac{n'}{n^2} \] 을 얻는다. 이 관찰을 바탕으로 임의의 정수 $m$과 $0$이 아닌 정수 $n$에 대하여, \[ \begin{align*} \Big( \frac{m}{n} \Big)' & = m' \cdot \frac{1}{n} + m \cdot \Big( \frac{1}{n} \Big)' \\[5px] & = \frac{m'}{n} - \frac{m \cdot n'}{n^2} = \frac{m' \cdot n - m \cdot n'}{n^2} \end{align*} \] 을 얻는다. 즉, 미분가능한 함수들의 몫의 미분법(quotient rule)과 동일한 형태의 성질을 갖는다는 사실을 알 수 있다. 예를 들어 \[ \Big( \frac{2}{3} \Big)' = \frac{2' \cdot 3 - 2 \cdot 3'}{3^2} = \frac{3-2}{9} = \frac{1}{9} \] 와 같이 계산할 수 있다.

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위와 같은 방법으로 유리수 범위까지 산술 도함수를 확장할 수 있지만, 여기서 한 가지 확인하고 넘어가야 할 사실이 있다. 주어진 유리수의 분수 표현이 유일하지 않기 때문에, 이 서로 다른 분수 표현이 모두 같은 산술 도함수 값을 가짐을 확인해야 하는데, 이는 임의의 정수 $k,\, m,\, n$ ($n \neq 0$)에 대하여 \[ \Big( \frac{km}{kn} \Big)' = \Big( \frac{m}{n} \Big)' \] 가 성립함을 확인하면 충분하다. 실제로 계산을 해보면 \[ \begin{align*} \Big( \frac{km}{kn} \Big)' & = \frac{(km)' \cdot kn - km \cdot (kn)'}{(kn)^2} \\[5px] & = \frac{\big( k' \cdot m + k \cdot m' \big) \cdot kn - km \cdot \big( k' \cdot n + k \cdot n' \big)}{k^2 n^2} \\[5px] & = \frac{k' \cdot kmn + m' \cdot k^2n - k' \cdot kmn - n' \cdot k^2m}{k^2 n^2} \\[5px] & = \frac{m' \cdot k^2n - n' \cdot k^2m}{k^2 n^2} = \frac{m' \cdot n - n' \cdot m}{n^2} = \Big( \frac{m}{n} \Big)' \end{align*} \] 을 얻으므로, 산술 도함수가 유리수 범위까지 잘 확장이 됨을 확인할 수 있다. 마지막으로

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이전 글에서 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여, $(p^k)' = k \cdot (p^{k-1})'$가 성립함을 확인해 보았다. 이제 이 식을 $k$가 임의의 정수인 경우까지 확장해 보자.

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정리 2.1.

임의의 소수 $p$와 정수 $k$에 대하여, 식 \[ (p^k)' = k \cdot (p^{k-1})' \tag*{$\myblue{(\ast)}$} \] 이 성립한다.

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증명. $k$가 양의 정수인 경우는 앞서 살펴 보았으므로, $k$가 $0$인 경우와 음의 정수인 경우만 확인하면 충분하다. 우선 $k=0$ 인 경우 $(p^0)' = 1' = 0$이므로 식 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$가 성립한다. 또한 임의의 양의 정수 $k$에 대하여 몫의 미분법을 이용하면, \[ (p^{-k})' = \Big( \frac{1}{p^k} \Big)' = - \frac{(p^k)'}{p^{2k}} = - \frac{k \cdot (p^{k-1})'}{p^{2k}} = -k \cdot p^{-k-1} \] 이므로 모든 정수 $k$에 대하여 식 $\myblue{(\ast)}$가 성립한다.$ $

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임의의 양의 정수에 대한 산술의 기본정리(fundamental theorem of arithmeric)를 이용하면 임의의 양의 유리수 $r$에 대하여 양의 소수 $p_1,\, \ldots,\, p_m$과 $0$이 아닌 정수 $k_1,\, \ldots,\, k_m$이 존재하여, $r = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$와 같이 유일하게 표현할 수 있음을 알 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명해 보자.

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정리 2.2.

임의의 양의 유리수 $r$에 대하여, 산술 도함수 $(\cdot)' : \Q \to \Q$는 다음 성질을 만족한다.

\[ r = \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \quad \implies \quad r' = r \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \]

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증명. $r = p_1^{k_1} \cdots p_m^{k_m}$과 같이 소인수분해 되었다고 가정하자. 여기서 $p_1,\, \ldots,\, p_m$은 양의 소수이고 $k_1,\, \ldots,\, k_m$은 $0$이 아닌 정수이다. 그러면 산술 도함수의 성질과 식 $\myblue{(\ast)}$에 의해,

\[ \begin{align*} r' & = \sum_{i=1}^{m} p_1^{k_1} \cdots (p_i^{k_i})' \cdots p_k^{k_m} = \sum_{i=1}^{m} p_1^{k_1} \cdots \big( k_i p_i^{k_i - 1} \big) \cdots p_k^{k_m} \\[5px] & = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \big( p_1^{k_1} \cdots p_i^{k_i} \cdots p_k^{k_m} \big) = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} r \\[5px] \end{align*} \]

따라서 원하는 결과를 얻는다.$ $

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예를 들어 $\frac{24}{25} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^{-2}$와 같이 나타낼 수 있으므로, \[ \Big( \frac{24}{25} \Big)' = (2^3 \cdot 3 \cdot 5^{-2})' = \frac{24}{25} \Big( \frac{3}{2} + \frac{1}{3} - \frac{2}{5} \Big) = \frac{172}{125} \] 와 같이 계산할 수 있다.

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산술 도함수(arithmetic derivative)의 실수로의 확장?

정리 2.2을 이용하면, 유리수 범위에서 정의된 산술 도함수를 특정한 형태의 실수 까지 확장할 수 있다. 만약 주어진 양의 실수 $x$가 적당한 양의 소수 $p_1,\, \ldots,\, p_m$과 $0$이 아닌 유리수 $r_1,\, \ldots,\, r_m$이 존재하여 \[ x = \prod_{i=1}^{m} p_i^{r_i} \tag*{$\myblue{(\ast\ast)}$} \] 와 같이 나타낼 수 있다고 하자. 이때, $x$의 산술 도함수를 다음과 같이 정의하자. \[ x = \prod_{i=1}^{m} p_i^{r_i} \quad \implies \quad x' = x \sum_{i=1}^{m} \frac{r_i}{p_i} \] $x$가 음수인 경우 $(-x)' = -x'$를 이용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 \[ \begin{align*} (\sqrt[3]{4})' & = \big( 2^{\frac{2}{3}} \big)' = \sqrt[3]{4} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3} \\[5px] \Big( \frac{\sqrt{3}}{4} \Big)' & = \big( 2^{-2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \big)' = \frac{\sqrt{3}}{4} \Big( - \frac{2}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{3} \Big) = - \frac{5 \sqrt{3}}{24} \end{align*} \] 과 같이 계산할 수 있다.

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참고. 위와 같은 방법으로는 산술 도함수를 모든 실수로 확장하는 것은 불가능하다. 예를 들어 $\pi$는 $\myblue{(\ast\ast)}$와 같은 형태로 나타낼 수 없기 때문이다. 하지만 선택공리(axiom of choice)를 가정했을 때, 유리수 위에서 정의된 산술 도함수를 실수 전체로 무한히 많은 방법으로 확장할 수 있다: 두 그룹 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$와 $(\Q,\, +)$를 생각하자. (여기서 $(\Q,\, +)$ 대신 $(\R,\, +)$을 고려해도 상관 없다.) 이제 사상 $L : (\Q^{\ast},\, \cdot) \to (\Q,\, +)$을 \[ r = \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \quad \implies \quad L(r) = \frac{r'}{r} = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \] 와 같이 정의하자. 그러면 $L$이 군동형사상(group homomorphism), 즉, 임의의 두 유리수 $r_1,\, r_2 \in \Q$에 대하여 $L(r_1 \cdot r_2) = L(r_1) + L(r_2)$가 성립한다는 사실을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이제 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$를 $\Q$ 위에서 정의된 벡터공간(vector space) $(\R^{\ast},\, \cdot)$의 부분공간(subspace)으로 볼 수 있고 $L$은 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$ 위에서 정의된 선형사상이므로 $(\R^{\ast},\, \cdot)$ 전체로 무한히 많은 방법으로 확장이 가능하다. 이 중 하나의 확장을 $\hat{L} : (\R^{\ast},\, \cdot) \to (\Q,\, +)$라 하자. 마지막으로 임의의 $0$이 아닌 실수 $x$에 대하여 $x' = x \hat{L}(x)$로 정의하고 $0' = 0$으로 따로 정의하면, 산술 도함수를 실수 범위 전체로 확장할 수 있다. 하지만 어떠한 확장도 $(\cdot)'$가 연속이 되게 할 수는 없음이 알려져 있다.$ $