산술 도함수_{(arithmetic derivative)} $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법_{(product rule)}과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다.

1. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$.
2. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$.

이번 글에서는 산술 도함수의 정의역을 ($0$과 음의 정수를 포함한) 정수, 그리고 더 나아가 유리수까지 확장해 볼 것이다.

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먼저 산술 도함수의 정의를 정수 범위까지 확장해 보도록 하자. 이때, 산술 도함수가 정수 범위까지 확장되더라도 산술 도함수가 만족해야할 기본 성질, 특히 곱의 미분법은 그대로 유지 되어야 한다. 이를 위해서 우선 $(-1)'$의 값을 계산해 보자. 먼저 $1' = 0$이므로, \[ 0 = 1' = ((-1)(-1))' = 2 \cdot (-1)' \] 따라서 $(-1)' = 0$이 됨을 알 수 있다. 이제 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, \[ (-n)' = ((-1) \cdot n)' = (-1)' \cdot n - n' = - n' \] 즉, $(-n)' = - n'$으로 정의하는 것이 자연스럽다. 그러면 자연스럽게 \[ 0' = (-0)' = - 0' \] 이 성립해야 하므로, $0' = 0$으로 정의해야 함을 알 수 있다.

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이제 산술 도함수를 유리수 범위까지 확장해 보자. 먼저 임의의 $0$이 아닌 정수 $n$에 대하여, \[ 0 = 1' = \Big( \frac{n}{n} \Big)' = n' \cdot \frac{1}{n} + n \cdot \Big( \frac{1}{n} \Big)' \] 이 성립해야 한다. 따라서 위 식을 정리하면, \[ \Big( \frac{1}{n} \Big)' = - \frac{n'}{n^2} \] 을 얻는다. 이 관찰을 바탕으로 임의의 정수 $m$과 $0$이 아닌 정수 $n$에 대하여, \[ \begin{align*} \Big( \frac{m}{n} \Big)' & = m' \cdot \frac{1}{n} + m \cdot \Big( \frac{1}{n} \Big)' \\[5px] & = \frac{m'}{n} - \frac{m \cdot n'}{n^2} = \frac{m' \cdot n - m \cdot n'}{n^2} \end{align*} \] 을 얻는다. 즉, 미분가능한 함수들의 몫의 미분법_{(quotient rule)}과 동일한 형태의 성질을 갖는다는 사실을 알 수 있다. 예를 들어 \[ \Big( \frac{2}{3} \Big)' = \frac{2' \cdot 3 - 2 \cdot 3'}{3^2} = \frac{3-2}{9} = \frac{1}{9} \] 와 같이 계산할 수 있다.

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위와 같은 방법으로 유리수 범위까지 산술 도함수를 확장할 수 있지만, 여기서 한 가지 확인하고 넘어가야 할 사실이 있다. 주어진 유리수의 분수 표현이 유일하지 않기 때문에, 이 서로 다른 분수 표현이 모두 같은 산술 도함수 값을 가짐을 확인해야 하는데, 이는 임의의 정수 $k,\, m,\, n$ ($n \neq 0$)에 대하여 \[ \Big( \frac{km}{kn} \Big)' = \Big( \frac{m}{n} \Big)' \] 가 성립함을 확인하면 충분하다. 실제로 계산을 해보면 \[ \begin{align*} \Big( \frac{km}{kn} \Big)' & = \frac{(km)' \cdot kn - km \cdot (kn)'}{(kn)^2} \\[5px] & = \frac{\big( k' \cdot m + k \cdot m' \big) \cdot kn - km \cdot \big( k' \cdot n + k \cdot n' \big)}{k^2 n^2} \\[5px] & = \frac{k' \cdot kmn + m' \cdot k^2n - k' \cdot kmn - n' \cdot k^2m}{k^2 n^2} \\[5px] & = \frac{m' \cdot k^2n - n' \cdot k^2m}{k^2 n^2} = \frac{m' \cdot n - n' \cdot m}{n^2} = \Big( \frac{m}{n} \Big)' \end{align*} \] 을 얻으므로, 산술 도함수가 유리수 범위까지 잘 확장이 됨을 확인할 수 있다.

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이전 글에서 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여, $(p^k)' = k \cdot (p^{k-1})'$가 성립함을 확인해 보았다. 이제 이 식을 $k$가 임의의 정수인 경우까지 확장해 보자.

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증명. $k$가 양의 정수인 경우는 앞서 살펴 보았으므로, $k$가 $0$인 경우와 음의 정수인 경우만 확인하면 충분하다. 우선 $k=0$ 인 경우 $(p^0)' = 1' = 0$이므로 식 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$가 성립한다. 또한 임의의 양의 정수 $k$에 대하여 몫의 미분법을 이용하면, \[ (p^{-k})' = \Big( \frac{1}{p^k} \Big)' = - \frac{(p^k)'}{p^{2k}} = - \frac{k \cdot (p^{k-1})'}{p^{2k}} = -k \cdot p^{-k-1} \] 이므로 모든 정수 $k$에 대하여 식 $\myblue{(\ast)}$가 성립한다.$ $

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임의의 양의 정수에 대한 산술의 기본정리_{(fundamental theorem of arithmeric)}를 이용하면 임의의 양의 유리수 $r$에 대하여 양의 소수 $p_1,\, \ldots,\, p_m$과 $0$이 아닌 정수 $k_1,\, \ldots,\, k_m$이 존재하여, $r = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$와 같이 유일하게 표현할 수 있음을 알 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명해 보자.

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증명. $r = p_1^{k_1} \cdots p_m^{k_m}$과 같이 소인수분해 되었다고 가정하자. 여기서 $p_1,\, \ldots,\, p_m$은 양의 소수이고 $k_1,\, \ldots,\, k_m$은 $0$이 아닌 정수이다. 그러면 산술 도함수의 성질과 식 $\myblue{(\ast)}$에 의해,

따라서 원하는 결과를 얻는다.$ $

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예를 들어 $\frac{24}{25} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^{-2}$와 같이 나타낼 수 있으므로, \[ \Big( \frac{24}{25} \Big)' = (2^3 \cdot 3 \cdot 5^{-2})' = \frac{24}{25} \Big( \frac{3}{2} + \frac{1}{3} - \frac{2}{5} \Big) = \frac{172}{125} \] 와 같이 계산할 수 있다.

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정리 2.2을 이용하면, 유리수 범위에서 정의된 산술 도함수를 특정한 형태의 실수 까지 확장할 수 있다. 만약 주어진 양의 실수 $x$가 적당한 양의 소수 $p_1,\, \ldots,\, p_m$과 $0$이 아닌 유리수 $r_1,\, \ldots,\, r_m$이 존재하여 \[ x = \prod_{i=1}^{m} p_i^{r_i} \tag*{$\myblue{(\ast\ast)}$} \] 와 같이 나타낼 수 있다고 하자. 이때, $x$의 산술 도함수를 다음과 같이 정의하자. \[ x = \prod_{i=1}^{m} p_i^{r_i} \quad \implies \quad x' = x \sum_{i=1}^{m} \frac{r_i}{p_i} \] $x$가 음수인 경우 $(-x)' = -x'$를 이용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 \[ \begin{align*} (\sqrt[3]{4})' & = \big( 2^{\frac{2}{3}} \big)' = \sqrt[3]{4} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3} \\[5px] \Big( \frac{\sqrt{3}}{4} \Big)' & = \big( 2^{-2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \big)' = \frac{\sqrt{3}}{4} \Big( - \frac{2}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{3} \Big) = - \frac{5 \sqrt{3}}{24} \end{align*} \] 과 같이 계산할 수 있다.

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참고. 위와 같은 방법으로는 산술 도함수를 모든 실수로 확장하는 것은 불가능하다. 예를 들어 $\pi$는 $\myblue{(\ast\ast)}$와 같은 형태로 나타낼 수 없기 때문이다. 하지만 선택공리_{(axiom of choice)}를 가정했을 때, 유리수 위에서 정의된 산술 도함수를 실수 전체로 무한히 많은 방법으로 확장할 수 있다: 두 그룹 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$와 $(\Q,\, +)$를 생각하자. (여기서 $(\Q,\, +)$ 대신 $(\R,\, +)$을 고려해도 상관 없다.) 이제 사상 $L : (\Q^{\ast},\, \cdot) \to (\Q,\, +)$을 \[ r = \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \quad \implies \quad L(r) = \frac{r'}{r} = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \] 와 같이 정의하자. 그러면 $L$이 군동형사상_{(group homomorphism)}, 즉, 임의의 두 유리수 $r_1,\, r_2 \in \Q$에 대하여 $L(r_1 \cdot r_2) = L(r_1) + L(r_2)$가 성립한다는 사실을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이제 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$를 $\Q$ 위에서 정의된 벡터공간_{(vector space)} $(\R^{\ast},\, \cdot)$의 부분공간_(subspace)으로 볼 수 있고 $L$은 $(\Q^{\ast},\, \cdot)$ 위에서 정의된 선형사상이므로 $(\R^{\ast},\, \cdot)$ 전체로 무한히 많은 방법으로 확장이 가능하다. 이 중 하나의 확장을 $\hat{L} : (\R^{\ast},\, \cdot) \to (\Q,\, +)$라 하자. 마지막으로 임의의 $0$이 아닌 실수 $x$에 대하여 $x' = x \hat{L}(x)$로 정의하고 $0' = 0$으로 따로 정의하면, 산술 도함수를 실수 범위 전체로 확장할 수 있다. 하지만 어떠한 확장도 $(\cdot)'$가 연속이 되게 할 수는 없음이 알려져 있다.$ $